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AnexactalgorithmforIntervalizingColoredGraphsHansL.BodlaenderJohanM.M.vanRooij1
ContentsIntervalizingColoredGraphs:problemandrelationwithpathdecompositionsSimpleO*(3n)algorithmForfixednumberofcolors:variantwithisomorphismtestSketchoftimeanalysis(subexponentialtime)Conclusions2
IntervalizingColoredGraphsGiven:undirectedgraphG=(V,E),vertexcoloringc:V?{1,…,k}Question:isGasubgraphofaproperlycoloredintervalgraph?MotivationoriginallyfromcomputationalbiologyNP-completewhenk=4(orlarger)(B,vanAntwerpen-deFluiter,1996)evenforcaterpillars(Alvarezetal.2001)Polynomialwhenk=3(B,vA-dF)ork=2(trivial)3
ResulttodayEasyO*(2n)timealgorithmHeld-Karp-styledynamicprogrammingalgorithmForfixedk,exactalgorithmwithsubexponentialtimeHeld-KarpstyleDP,augmentedwithisomorphismtestForalle0:4
PathdecompositionApathdecompositionisasequence(X1,X2,…,Xr)ofsubsetsofvertices(calledbags)suchthatIfijkandv?Xi?Xkthenv?Xk.Forall{v,w}?E,thereisaniwithv,w?Xi.Pathwidth:minmaxbagsize–1(Robertson,Seymour)Apathdecompositionisproperlycolored,iftwoverticesinthesamebagalwayshaveadifferentcolor5
Examplevwxyzvwwxxyyz6
ProblemreformulationGiven:vertexcoloredgraphG=(V,E)Question:doesGhaveaproperlycoloredpathdecomposition?EquivalenttoIntervalizingColoredGraphsNote:pathwidthofGisnecessarilyboundedbynumberofcolors(-1)vwxyzvwwxxyyz7
NicepathdecompositionPathdecompositionisnicewhen|X1|=1andforalli1:Xi=Xi-1è{v}forsomev(introducenode),orXi=Xi-1-{v}forsomev(forgetnode).Simplelemma:thereisaproperlycolorednicepathdecomposition,ifandonlyifthereisaproperlycoloredpathdecompositionHelpsfortheDPalgorithm8
FinepairsCallapairofvertexsets(Y,Z)fineifZíYThereexistsaproperlycolorednicepathdecompositionofG[Y]suchthatthelastbaghasvertexsetZN(Y–Z)íYZY9
SimpleO*
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