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PAGE9/8年级自招A班教师版第6讲

第六讲

一次函数

一．一次函数

1.概念：解析式形如（、是常数，且）的函数叫做一次函数．

①定义域:一切实数．

②当时，解析式就成为（是常数，且），这时是的正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特例．

③一般地，解析式形如（为常数）叫做常值函数．（非一次函数）

2.图像：一次函数（、是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的

图像也称为直线，这时，把一次函数的解析式称为这一条直线的表达式．

作图：只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．

截距：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距．直线

（）与轴的交点坐标是．直线（）的截距是．

斜率：在平面直角坐标系中画直线（），截距相同的直线都经过同一点；

而由于的值不同，则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同．这个常数称为直线的斜率．

3.性质：

⑴增减性（单调性）：

当时，函数值随自变量的值增大而增大；

当时，函数值随自变量的值增大而减小．

⑵位置情况：

当且时，直线经过第一、二、三象限；

当且时，直线经过第一、三、四象限；

当且时，直线经过第一、二、四象限；

当且时，直线经过第二、三、四象限；

一次

函数

，

符号

图像

4．直线：（）与直线：（）的位置关系：

①与相交（拓展：时，与垂直）；

②且与平行；

③且与重合．

二．待定系数法确定一次函数解析式：

⑴确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数解析式（）中的常数，需要一个条件；确定一个一次函数，需要确定一次函数的解析式（）中的常数和，需要两个条件.解决这类问题的一般方法是待定系数法.

⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

①设：设函数解析式（）；

②列：把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）；

③解：解方程（组），求出待定系数；

④代：将求得的待定系数的值代入所设的解析式．

三．求两直线交点坐标：

直线（）与直线（）的交点坐标就是方程组的解．

四．一元一次方程、一元一次不等式与一次函数（函数思想与数形结合）

由一次函数的函数值大于（或小于），就得到关于的一元一次不等式（或）．在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集．

★☆☆☆☆

⑴下面哪个正比例函数的图像经过一、三象限（）

A． B．

C．（为常数） D．

⑵若正比例函数的图像经过点，则随的增大而________．（填“增大”或“减小”）

⑶下列函数中，哪些是一次函数？

①；②；③；

④；⑤

⑴；⑵减小；⑶④

★☆☆☆☆

⑴一次函数经过第_______象限，一次函数不经过第______象限.

⑵如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（）

A．，B．，C．，D．，

⑶已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图像一定都经过（）

A．第一、二象限 B．第二、三象限

C．第三、四象限 D．第一、四象限

⑴一、二、四，二；⑵；⑶；

★☆☆☆☆

已知一次函数

⑴为何值时，随的增大而减小；

⑵、为何值时，函数图像与轴的交点在轴正半轴；

⑶、为何值时，函数图像经过二三四象限；

⑷、为何值时，函数图像过原点．

⑴；⑵，；⑶，；⑷，

★★☆☆☆

⑴已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是_______．

⑵若，，则经过（）

A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限

C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限

⑶函数①和②（）在同一坐标系中图像可能是（）

⑴根据题意可得：，解得；

⑵根据题意可得，，故选择；

⑶．

★★☆☆☆

⑴若一次函数的图像经过第一、二、三象限，求的值．

⑵若一次函数的图像不经过第一象限，则求的取值范围．

⑶若一次函数的图像与轴的交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值．

⑴，得．⑵，得．

⑶，得，得整数为．

★★★☆☆

⑴已知一次函数的图像经过和两点．求这个一次函数的解析式．

⑵求证：点，，在一条直线上．

⑴设这个一次函数的解析式为：（），

由题意可知，解得

故这个一次函数的解析式为：．

⑵设点，确定的直线的函数解析式为（）

则，解得：，直线的函数解析式为

把代入，得：，在直线上，故三点共线．

★★★☆☆

⑴已知与成正比例，其中、为常数，则是的什么函数？若当时，；当时，，求这个函数的解析式．

⑵某一次函数的图像与直线交于点，且与直线无交点，求此函数的关系式．

⑶已知为一次函数，且满足，求此函