第9讲 四边形中的动点问题（教师版）.docxVIP

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PAGE6/8年级自招A班教师版第8讲

第九讲

四边形中的动点问题

一、特殊四边形的存在性问题

特殊四边形包括等腰梯形，直角梯形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，利用它们各自的性质，通过分类讨论，列出方程并求解．

1.平行四边形存在性问题

⑴已知三点求平行四边形，根据对角线的不同可以分为以下三种情况：

①作对角线，利用平行四边形对角线互相平分列出方程,即可求解;

②作对角线；

③作对角线.

⑵已知两点求平行四边形，根据是对角线还是边可以分为两大类来考虑.

2.特殊平行四边形

⑴矩形可以看作平行四边形加直角三角形；

⑵菱形可以看作平行四边形加等腰三角形；

⑶正方形可以看作平行四边形加等腰直角三角形.

3.梯形存在性问题

梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．

常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四个点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的相等而不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需联结对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．

★★☆☆☆

如图，在平面直角坐标系中，双曲线和的图像关于轴对称，直线与两个图像分别交于两点，点为线段的中点，连接

⑴求的值及点的坐标；

⑵若在坐标平面上有一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请求出点的坐标．

备用图

⑴将已知坐标代入所在函数图像解析式得由中点坐标公式得

⑵以为边：设的横纵坐标之和对应的横纵坐标的和，即解得或的横纵坐标之和对应的横纵坐标的和，即解得；以为对角线：同理可得．

★★★☆☆

在平面直角坐标系中，直角梯形顶点的坐标为，直线经过顶点，与轴交于顶点，．

⑴求顶点的坐标．

⑵如图，直线经过点，与直线交于点，直线上有一点，且满足．当时，求直线的解析式．

⑶在⑵的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，当以为顶点的四边形成为平行四边形时，请直接写出点的坐标．

⑴

⑵易得，作于，则，，，∴，直线的解析式为

⑶解析式为

为一边：：过作轴平行线，设

∴，代入中得，∴

：，∴

为对角线：设，

，解得∴

★★☆☆☆

如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边,分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且,的长度满足,的平分线交轴于点,过点作的垂线，垂足为点，交轴于点.

⑴求线段的长；

⑵求直线的解析式；

⑶若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点,使以为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

⑴;

⑵;

⑶存在，或

★★☆☆☆

如图，平行四边形中，，，交轴于点，点，是的中点，在上从向移动，的延长线与的延长线交于点．

⑴求的坐标；

⑵求证：四边形是平行四边形；

⑶求当是多少时，四边形是矩形；是多少时，四边形是菱形．

⑴，

⑵

⑶；

★★★☆☆

在平面直角坐标系中，点是坐标原点，正比例函数(为自变量)的图像与双曲线交点，且的横坐标为．

⑴求的值．

⑵将直线（为自变量）向上平移个单位得到直线，直线分别交轴、轴于、，如点在直线上，在平面直角坐标系中求一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．

⑴设，在上，所以，从而．

又因为点在直线上，所以，解得．

⑵把向上平移个单位得到，交轴、轴于点，

所以，，所以，

若以为顶点的四边形是菱形，分两种情况讨论：

①以为边，如图⑴，点与点重合，；

如图⑵⑶，点在上，，所以或．

②以为对角线，如图⑷，菱形边长为，所以点，由对称性得．

综上所述，点的坐标是或或或．

⑴⑵

⑶⑷

★★☆☆☆

如图，在梯形中，，是的中点，，，，，点是边上一点，设的长为．

⑴当的值为时，以点为顶点的四边形为直角梯形．

⑵当的值为时，以点为顶点的四边形为平行四边形．

⑶点在边上运动的过程中，以点为顶点的四边形能否构成菱形，试说明理由．

⑴如图，分别过作于，

∴，

而，∴

∴，

点为顶点的四边形为直角梯形，则或，

当时，与重合，

∴；

当时，与重合，

∴．

故当的值为或时，点为顶点的四边形为直角梯形；

⑵若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么，有两种情况：

①当在的左边，∵是的中点，∴

∴

②当在的右边，

故当的值为或时，点为顶点的四边形为平行四边形；

⑶由⑵知，当时，中，

所以，所以此时不能构成菱形．

当时，点为顶点的四边形为平行四边形，∴,

∵，则

∴，∴

∴故此时是菱形．

即以点为顶点的四边形能构成菱形．

★★★★☆

如图，在平面直角坐标