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PAGE13/9年级第2讲

第二讲

圆幂定理

处理圆中比例线段的问题，通常用到圆幂定理．圆幂定理是几何中最重要的定理之一．

相交弦定理、切割线定理和割线定理（切割线定理的推论）统称为圆幂定理．

一、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．即如图所示，有．

相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

二、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项．即如图所示，有．

?弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角．

?弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．

推论1：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．

推论2：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等．

推论3：弦切角等于它所夹的弧的度数的一半．

实际上，可以把切割线定理看做是割线定理的极限情形，于是上述结论可以合并为：如果交点为的两条相交直线与圆相交于与，那么就有，这里及分别共线．考虑经过点和圆心的直线，设交于，为圆的半径，则有

即为点到圆的幂，圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为．

★★☆☆☆

⑴如下左图，在中，弦与半径相交于点，且，若，，则的长为________．

⑵如下右图，在中，为弦上一点，，交于，，，则________．

⑴；⑵．

★★★☆☆

如图，圆的半径是，两点在圆上，点在圆内，，，，求点到圆心的距离．

联结，则线段的长就是所求点到圆心的距离．

联结，延长交于，过点作于，延长交于．

设，由相交弦定理可得，

则，∵，∴，

，

在中，，∴，

即，解得

∴，

．

★★☆☆☆

⑴如图，为的直径，点在上，的平分线交于，交于，若的半径为，，则________．

★★★★☆

【自招】

如图，在中，分别是其中线和角平分线，交于，交于．求证：．

一次角平分线定理，两次割线定理

★★☆☆☆

【自招】⑴如图，为的直径，分别切于点，，则的度数为，的度数为．

【自招】⑵如图，切于，并和弦的延长线交于，平分，，，则的长是________．

⑴等角的余角相等；⑵；⑶；⑷．

★★☆☆☆

⑴如下左图，是的切线，是切点，是割线，交于、，与直径交于点．已知，，，那么的长是________．

⑵如下右图，为内一点，交于，切于，若，，，则的半径为________．

⑴；⑵

★★★☆☆

如图，与等边交于六点，且，，，．则________．

★★★☆☆

【自招】

如图，已知是的直径，弦与交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，如果，，为的中点，则________．

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设，则，

连．因为为的直径，为的切线，所以，．

又因为为的斜边的中点，

∴，∴，

∴，．

在中，由勾股定理得即．

设，由相交弦定理得，即，

∴①

又∵，∴．

又，，∴，从而．

在中，由勾股定理得，即，

∴②

联立①②，解得．

所以．

★★★☆☆

自圆外一点向圆作切线，切点为，再由的中点作圆的割线和圆交于两点，分别交圆于两点，求证：．

由圆幂定理，得,

而

即又∴

又，∴，∴∴

★★★☆☆

是锐角三角形，以为直径作，是的切线，从上一点作的垂线交的延长线于点，若，求证：.

联结，

∵，∴∴

∵，∴，∴

∴

又，∴．

★★★☆☆

【自招】

已知：四边形内接于直径为的圆，对角线和的交点是，是直径，，且，求四边形的周长．

辅助线如图，则，

又，故，．

又．故，．

而，即．则，

∴，，

故四边形的周长为．

★★★☆☆

【自招】

如图，正方形内接于，点在劣弧上，联结交于点．若，则的值为________．

联结，设半径为，，则，，．

在中，根据相交弦定理得，∴，

由勾股定理得，即，解得．

∴．

⑴已知切于点，是上一点，，则的度数为________．

⑵如图，自圆外一点引两条割线、，并联结、、、，则图中相似三角形的对数是________．

⑴分类讨论．（弦切角定理）两种情况，若点和点在的两侧，则；若点和点在的同一侧，则

⑵对

已知点为和公共弦上的一个点，过的一条直线交和分别于、、、．证明：．

由相交弦定理：．

∴．∴即

如图，、分别是的弦和切线，为切点，为的平分线，且交于，的延长线与交于．若，，则________．

设，由弦切角定理得,

∴,∴

再由切割线定理得，即，解得

如图，、相交于、两点，在延长线上，过点作的割线交于、，作的切线切于．若，，则________．

由得．

如图，已知的弦、相交于点，，，，切于点，，则的长为________．

相交弦定理得，∵，，，

∴

∵为⊙切线，由切割线定