第3讲 四点共圆（一）（教师版）.docxVIP

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PAGE11/9年级第3讲

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第三讲

四点共圆（一）

★★☆☆☆

1．如图和中，，求证：点，，，四点在同一个圆上．

反证法：

经过，，三点作，假设点不在上，则点在内或外．

⑴当点在内时，延长交于，连结，则有

又∵，∴

这与相矛盾

∴点不在内．

⑵当点在外时，不妨设交于，连结，则，

又∵

∴

这与相矛盾

∴点不在圆外．

所以综合⑴⑵，点在上．故点，，，四点在同一圆上．

★☆☆☆☆

2．如图，为、、、的斜边，求证：四点共圆．

取斜边中点，联结，利用斜边中线等于斜边一半，

四点共圆

顶点在同一圆上的四边形叫做圆内接四边形．我们也可以说圆内接四边形的四个顶点是共圆的．因此研究圆内接四边形是研究点共圆的基础，圆内接四边形有如下性质定理及判定定理．

一、性质定理：

圆内接四边形对角互补；任意一个外角等于内对角．

由此可以推论出：

平行四边形内接于圆，则为矩形．

菱形内接于圆，则为正方形．

梯形内接于圆，则为等腰梯形．

*托勒密(ptolemy)定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．

二、判定定理

最基本的，如果四个点到平面上某一定点的距离都相等，则这四个点共圆．

由此，我们可以立即得出

1．具有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．

将上述判定推广到一般情况，得：

2．对角互补的四边形，四顶点共圆．

3．一个外角等于内对角的四边形，四顶点共圆．

4．有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等，则四个顶点共圆．

运用这些判定方法，可立即推出：矩形、正方形、等腰梯形的四个顶点一定共圆．

圆幂定理的逆命题是判定四点共圆重要的定理．

5．两条线段和交于点，若，则四点共圆．

6．共端点但不共线的两条射线上有两点和，若满足，则四点共圆．

7．共端点但不共线的两条射线，其中一条上有两点，另一条上有一点，若满足条件，则和射线相切于．

托勒密定理的逆定理：

8．若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆．

证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似有同等重要的地位．在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论．因此，证明四点共圆就给研究几何图形的性质开拓了新的思路．

★★☆☆☆

⑴如下左图，在的内接四边形中，是直径，，则．

⑵如下中图，中，于，于，，，则．

⑶如下右图，，则．

⑴⑵⑶

★★☆☆☆

如图，相交于两点，经过点的直线与交于点，与交于点，经过点的直线与交于点，与交于点．求证：．

联结，

★★★☆☆

已知，四边形内接于，，于．求证：．

过作交延长线于（或延长至，使），证两次全等，，．或截长补短

★★★☆☆

⑴如下左图，已知切于，弦交于，交于，则．

⑵如下右图，已知的外接圆的圆心在上，，为边上的高，为上的一点，的延长线交于，则的值是．

⑴⑵

★★★☆☆

如图，已知四边形的两条对角线互相垂直于点，分别是点到的距离．求证：四边形内接于圆．

四点共圆，得，同理，···，故

★★☆☆☆

⑴如下左图，为内一点，分别在上．已知四点共圆，四点共圆，求证：四点共圆．

⑵如下右图，从的顶点到引垂线，从向、引垂线，垂足为，求证：四点共圆．

⑴联结，

⑵先证四点共圆，得

★★★☆☆

如图，梯形的对角线交点为，分别以为直径各作一圆，点位于这两个圆之外，证明：由点向这两个圆所作的切线长度相等．

设与两圆交点分别为，四点共圆，四点共圆，

★★★☆☆

已知锐角，以为直径的圆与边的高线及其延长线交于，以为直径的圆与边的高线及其延长线交于，求证：四点共圆．

设交于点，联结并延长交于，则在两圆上（两圆一交点），，于是

★★★★☆

已知：如图，四边形内接于圆．求证：．

作，易证，

，两式相加得

★★★★☆

【自招】

已知：如图，中，，求证：．

令．作的外接圆及弦，使，令，导角，，由四点共圆以及托勒密定理得，∴

⑴如左图，已知是半圆的直径，，是上任意一点，那么．

⑵如右图，中，直径⊥弦于，弦交于，是延长线上一点，，则．

⑴；⑵

已知：如图，是的内接等边三角形，点是上任一点．求证：．

法一：延长至，使，联结．，易证，进而为等边三角形，

法二：由托勒密定理及，得结论

已知正方形的面积为，、分别为、的中点，交于，则．

联结，四点共圆，

⑴如图，两圆相交于两点，过点作两割线与，直线相交于，求证：四点共圆．

⑵已知的边的垂直平分线交的外接圆于，交于，交的延长线于，过作的切线．若，则．

⑴联结，四点共圆

⑵四点共圆，

如图，以为圆心，为直径的半圆上，有两点，点在上，并