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PAGE2/自招体系7年级第8讲
PAGE2
第
第八讲
直角三角形(
直角三角形
(特殊三角形与三垂直模型)
★★
如图,在中,,.
求证:.
取中点,联结
则,又,是正三角形
得证.
★★
如图,在中,,.
求证:.
取中点,联结
则,又,,是正三角形
得证.
特殊三角形
两个特殊的直角三角形(三角板):
①含,,角的直角三角形三边之比为.
②含,,角的直角三角形三边之比为.
③特殊角结论:
Ⅰ.在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
Ⅱ.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于.
注:与此相关的一个常用结论:
,,的等腰三角形三边之比为.
★★
如图,中,,,,求的度数,及的面积.
作于,设,则,列方程得,解得,
故,
★★★
⑴如图,在四边形中,,,,,求的值.
⑵如图,四边形中,,,,,,求四边形另两边的长.
⑴如图添加辅助线,可求得,;
⑵如图添加辅助线,可求得,;
⑶如图,四边形中,,,,,,
求的长.
⑶如图添加辅助线,可求得,.
如图,已知中,,,边的垂直平分线交边于点,垂足为点,取线段的中点,联结.求证:.
联结
则,
又
∴
★★★★
如图,在中,,,于点,过点作,联结,点为上一点,且,联结交于点,交于点.
⑴若,,求的面积;
⑵点为的中点时,求证:.
⑴
⑵设
,
∴
∴
又,
∴
∴为等腰直角三角形
∴
★★★★
如图,在正方形中,过点作,在上取点,使得,联结,,交于点,求证:.
取中点,联结,作于.
则又,
又
而
射影模型&三垂直全等模型
直角三角形的全等判定:
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等(简记为).
(PS:不一定是,也可以用一般三角形的4种判定方法证明,看具体情况)
射影模型:
⑴已知,,则:
①;②
⑵进一步,若平分交于、交于,则:.
三垂直全等模型:
⑴已知:如图①,,,经过点,于,于.
求证:
⑵已知:如图②,,,经过点,于,于.
求证:
⑶已知:如图③,,,于,交于,交于.
求证:
①②③
一线三等角
锐角型 钝角型
注:三垂直模型一般化,为一线三等角全等,在一些学校中直接将三垂直模型叫做一线三等角
★★★
如图,中,,于点,平分交于,交于,且交于,求证:.
过点作交于点.
又
平分
在和中,
又(角平分线性质)
即
法二:作交于
证明和所在三角形全等,即
★★★
如图所示,以边往外作等腰直角三角形,其中,.过点的直线垂直于,交于,求证:.
过作于,过作交延长线于,
因为,.
所以,,
在与中
所以,同理可证,则
在和中
所以,所以.
★★★
已知:如图,等腰直角中,,为边上的中线,交于,联结.求证:.
过作垂线,交延长线于.
由三垂直全等模型易证得,故,.
又,故
易证,故
所以,得证.
如图,已知,点是线段上的动点,以为边作正六边形,以为底作等腰,联结、,求的面积的最大值.
作于,设,则
∴的面积的最大值是
如图,为上一点,,,.求的度数.
(法一)(法二)
(法一)过点作于,设,,则.
用特殊三角形的三边比可得,所以,可算出,进而求出.(放弃治疗吧,果断不能讲...如果一定要讲,那就过点作一个等于,这样勾股定理解方程求出度数)
(法二)过作于,联结,设,则
由中,,所以.进而可得:
.进而可得两个结论:
由外角知:,
,
那么,,
故
已知:如图,,,,.求、长.
延长、,交于点,则中,,易求得,,,,故,.
如图,、是等边两边上两点,,联结相交于点,于.
求证:.
因为,且,又因为,所以.
所以.
因此有,
则.因为,所以在中,.
已知:如图,在四边形中,,,,,.求这个四边形的面积.
联结,过点作于,是直角三角形,面积为,且,在和中,设,,解得,∴,,∴四边形的面积为.
已知:中,是直角,是上一点,,过作的垂线交于.
求证:.
∵∴,∵
∴在与中
∴∴又∵
∴、在的垂直平分线上即
如图,在中,,
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