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数学试题
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟
2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.
3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡的相应位置,在试卷和草稿纸上答题无效.
第Ⅰ卷:选择题(60分)
一、单选题,本题共8小题,每题5分,共40分,将答案填涂在答题卡上相应位置.
1.已知全集,集合,,则()
A. B. C. D.
2.已知a实数,若(i为虚数单位),则()
A.1 B. C. D.
3.已知锐角满足,则()
A. B. C.2 D.3
4.已知向量满足,且,则等于()
A. B. C. D.7
5.已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为()
A. B. C. D.
6.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sinθ的值为()
A. B. C. D.
7.设,,,则()
A. B. C. D.
8.抛物线:与双曲线:有一个公共焦点,过上一点向作两条切线,切点分别为、,则()
A.49 B.68 C.32 D.52
二、多选题:本小题共4小题,全选对得5分,部分选对得2分,多选或错选均不得分,共计20分,将答案填涂在答题卡的相应位置.
9.已知数列的前n项和为,且(其中a为常数),则下列说法正确的是()
A.数列一定是等比数列 B.数列可能是等差数列
C.数列可能是等比数列 D.数列可能是等差数列
10.以下四个命题表述正确是()
A.直线恒过定点;
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C.曲线与曲线恰有三条公切线,则
D.若双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为,则双曲线的离心率为.
11.如图,棱长为1正方体中,为线段上的动点(不含端点),则下列结论正确的是()
A.直线与所成的角可能是
B.平面平面
C.三棱锥的体积为定值
D.平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形
12.已知函数,其中为自然对数的底数,则下列说法正确的是()
A.函数的极值点为1
B.
C.若分别是曲线和上的动点.则的最小值为
D.若对任意的恒成立,则的最小值为
第Ⅱ卷:非选择题(90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若直线3x+4y-8=0被圆(x-a)2+y2=4截得的弦长为,则a=______.
14.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为,深度为.如果池底每的造价为150元,池壁每的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为______.
15.已知点在圆C:()内,过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8,则______.
16.已知抛物线的焦点到准线的距离为,为坐标原点,点在抛物线上,平面上一点满足,则直线斜率的最大值为_______.
四、解答题(本大题满分70分,每题要求写出详细的解答过程,否则扣分)
17.已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.已知函数.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,求acosB﹣bcosC的取值范围.
19.已知圆C:x2+y2﹣4y+1=0,点M(﹣1,﹣1),从圆C外一点P向该圆引一条切线,记切点T.
(1)若过点M的直线l与圆交于A,B两点且|AB|=2,求直线l的方程;
(2)若满足|PT|=|PM|,求使|PT|取得最小值时点P的坐标.
20.如图,四棱锥的底面是等腰梯形,,,,,为棱上的一点.
(1)证明:;
(2)若二面角余弦值为,求的值.
21.已知曲线C上任意一点到点的距离比它到y轴的距离大2,过点的直线l与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)若曲线C在A,B处的切线交于点M,求面积的最小值.
22.已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域;
(2)若函数在上仅有两个零点,求实数的取值范围.
数学试题
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟
2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.
3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡的相应位置,在试卷和草稿纸上答题无效.
第Ⅰ卷:选择题(60分)
一、单选题,本题
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