7自招A 第1讲 整式的恒等变形（二）（教师版）.docxVIP

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PAGE8/自招A7年级教师版第1讲

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第

第一讲

整式的恒等变形（二）

整式的恒等变形

（二）

设均为正实数，均为实数，

当等式成立时，应满足何种关系？

等式展开可得：

移项配方：

．

一、等式的分类：

⑴恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立．

如：，，

⑵条件等式：只有用某些数值代替等式中的字母时，等式才成立．

如：只有在时才成立．

⑶矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不成立．

如：，

二、等式的证明：

等式的证明分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明主要是通过恒等变形，从等式的一边证到另一边，或者证两边等于同一结果；条件等式的证明要认真分析条件和所证等式之间的关系．

⑴等式的证明一般是通过恒等变形把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，即“从繁到简”．

⑵等式证明的常用方法有：

①左右法（即从左端推出右端，或从右端推出左端）;

②同一法（左右两端分别变形得到同一结果）;

③比较法（即证左右两端的差为零，或左右两端的比为）．

⑶恒等变形常用技巧

①灵活运用乘法公式

②因式分解

③配方法

④整体思想与换元思想

附：常用恒等变形公式

基本公式：

（1）平方差公式：

（2）完全平方公式：

（3）完全平方公式：

（4）三项的完全平方公式：

（5）立方和公式：

（6）立方差公式：

（7）完全立方公式：

（8）完全立方公式：

（9）配方公式：

（10）欧拉公式：

特别地①当时，有．

②当，有或．

总结一些会遇到的恒等公式及配方公式：

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸（为正整数）

⑹（为正奇数）

特别的：

①（为正整数）

②（为正奇数）

★★★

已知:．

求证：⑴；

⑵；

⑶；

⑷（其中）；

⑸．

⑴，展开即可得：

⑵欧拉公式：

当时，有

⑶

⑷

⑸左右

【编者注】：本题总结了条件的多种应用，需活用乘法公式进行推导．

★★

⑴证明：

⑵证明：

本题直接使用上题中的⑴、⑵两条结论，给娃增加自信心．

★★★

已知、、满足，，，求，的值．

由，得，

由欧拉公式：

代入可得：．

（本题为竞赛原题，此处若学生产生平方后为负的疑问，可简单从虚数角度稍作解释）

综上，，．

★★

若，则．

，得

∴

★★★

有理数满足则．

可主元配方：

、为有理数，两式相加，得．

注：学习过一元二次方程后，此题可看做关于的一元二次方程，根据判别式为完全平方进行求解．

★★★★★

已知、、是互不相等的整数，证明：是整数．

换元：令，，

分母

分子

所以，原式，，、、中必有偶数

原式，为整数．

★★

已知：求的值．

故

即

而

或

★★★★★

已知、、、为实数，且满足，，．

求证：，，．

由可得，代入上式，有

整理可得：

即，同理可得．

而，得．

再由，得．

★★★

已知，，且，求证：．

左边

右边，得证．

★★★★★

已知，关于，，的代数式

恒成立，求的值．

法一：左边拆括号死算，

左边

法二：赋值法，

令，，，满足，代入得．

已知：在中，（,,是三角形的三边长），

求证：．

因为是三角形三边的长，所以，，

由已知条件得，即．

证明：．

左

右．

已知，求证：中至少有一个为．

由已知，，

令，，则，

故，，

即，，，

因此中至少有一个为，得证．

已知，且，求证、、中至少有一个为．

，故、、中至少有一个为．

已知，.

⑴求的值；⑵求的值.

⑴；

⑵由⑴，知，

故解得；

因此．

证明：

右

，得证．

已知实数，，满足，，求证：．

因为

又因为，

因为，所以、、均不为

所以．

如果关于的不等式的解只有一组，求：的值．

令，（）

∴∴

∵

∴只有一组解

∴