7自招A 第3讲 分式的恒等变形（三）（教师版）.docxVIP

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PAGE8/自招A7年级教师版第3讲

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第

第三讲

分式恒等变形（三）

分式恒等变形（三）

已知，求证：

由题，，即：

分式比例的性质:

如果，那么（传递性）

如果，那么（内项积等于外项积）

如果，那么（合、分比性质）

如果，那么（合分比定理）

如果且

那么（等比性质）

分式的恒等变形：

分式的恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使化简、证明过程更加简洁．在此我们总结几种分式中常见的处理技巧：

1．直接代入法

2．倒数法

3．倒数对称式：熟练掌握好倒数对称式的一系列恒等变形

4．分式性质：依据分式性质，分子分母同乘或者同除以同一因式后进行变形

5．因式分解法

6．换元技巧

7．设法：对于连等式，可选择设后进行处理

8．裂项法

★★★

已知，，求证：．

换元，令，，，于是条件变为，，

通分变形⑵有，也即．把⑴两边平方，

所以，即，即，得证．

★★★★

如果实数、、满足，

则________．

换元处理，设，，，则

同第二讲例9，

∴

∴或或

由所求的对称性，不妨设

∴

★★

已知：，求证：．

设

则，，

★★★

已知，，．求：的值．

因为，两边平方得到：

又因为，所以,又

所以

同理：

故原式

★★★★

已知：，

求的值．

同理：，

原式

★★★

已知，求的值．

由条件，得

①若，则由分母推得，原式

②若，则，

原式

★★★

设，其中为正数．求证：．

（糖水不等式）

如例、的形式，重点掌握好一种思想，即把待处理的分式分子或者分母化为相同形式．

★★★★

⑴已知，求证：．

⑵已知、、为非零实数，且满足，，

求的值．

⑴左边

⑵整理可得

1)

2)，此时

或

综上的值为或或．

★★★★

计算：．

两两组队相加，寻找通项特点

而

所以原式．

★★★★

已知，求的值．

考虑，裂项可得

即：

注：此题换元，，，，则，，，

，，，带入原式运算也可

已知、、为正数，满足如下两个条件：；，证明：以，，为三边长可构一个直角三角形．

∴

∴以，，为三边长可构一个直角三角形．

化简下列分式：⑴

⑵

⑴；

⑵原式

⑴已知，求证：．

⑵已知：，，求证：．

⑴由条件得

，所以．

⑵由已知解得，，

故代入得

⑴已知，且，则代数式的值是________．

⑵已知，，则的值为________．

⑴

⑵，，

，代入，所以

计算：

原式

已知实数、、满足与，则的值是．

因为，所以，

所以，．

故

．

已知，

求的值．

设，则．

已知的等式可化为：，

化简得①

∵，∴②

由①、②得，故，

于是，得．

已知实数、、互不相等，且，试求的值．

由，得到，由得，

代入得

整理得到：

，即

由得到，此时与题意不符

则，

已知，、、，，，，若，则________．

连比型分式往往可用设参数法求解．本题可设连比式的比值为，进而求解．

∵，∴①

∵，∴②

∵，∴③

由①、②、③相乘后约去得

所以，即，所以或．

当时，则可得，．此时；

当时，则可得，．此时，舍去；

所以，把代入，．