7自招A 第5讲 全等三角形的判定（角平分线与截长补短）（教师版）.docxVIP

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PAGE14/自招A7年级教师版第5讲

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第五

第五讲

全等三角形的判定（角平分线与截长补短）

全等三角形的判定

（角平分线与截长补短）

⑴已知：如图，平分，于，于．求证：．

⑵已知：如图，为内部一点，且于，于，．

求证：平分．

⑴易证，故．

⑵易证，故．

【注】本题即角平分线的性质定理和判定定理的证明，虽极简单，建议老师在讲知识点时还是带着孩子认真写一遍证明，并请注意强调在学校尤其是公立学校里，此知识点属于八年级上册内容，考试时不能直接用，仍需像本题一样通过三角形全等来证明．

角平分线基本模型

角的平分线：

性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

判定定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

【思考】若去掉“在一个角的内部（包括顶点）”，则这个点在什么位置？

角平分线常见辅助线

⑴过角平分线上的点作角两边的垂线：

已知平分，于．

作于．

在和中

⑵在角的两边上截取线段相等（图形的运动观点——轴对称、翻折）

已知平分，为上一点．

【常用辅助线！！】在上截取，连结．

在和中

⑶通过角平分线和垂线条件，构造等腰三角形（三线合一）

已知平分，于．

【常用辅助线！！】延长，交于．

在和中

【思考】此种辅助线作法比截取的好处在于？

⑷角平分线和平行条件结合，构造等腰三角形：

已知平分．

作交于．

平分（已知）

（）

（已作）

（）

（）

（）

【注】本讲重点学习①②模型．

（选讲）补充知识点：三角形的五心——内心与旁心

⑴内心：三角形的三条内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．内心是三角形内切圆的圆心．内心到三角形三条边的距离相等．

⑵旁心：三角形一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心．三角形的旁心共有三个，它们都是三角形旁切圆的圆心．旁心到三角形三条边的距离相等．

对于大部分的学生来说，都是刚开始几何部分的学习．学生在几何上做得并不熟练，特别是在如何添加辅助线这一块．本讲设置了很多相似类型的题目，供学生针对同一种形式进行练习．题量较大．拓展的几道题是非常经典的题型，可酌情讲解．

★★

⑴已知：如图，的两条内角平分线交于点．求证：平分．

⑵已知：如图，的两条外角平分线交于点．求证：平分．

⑴如图，过作于，于，于．

由角平分线的性质定理，易证，，故，因此根据角平分线的判定定理，平分，得证．

⑵如图，过作于，于，于．

由角平分线的性质定理，易证，，故，因此根据角平分线的判定定理，平分，得证．

★★

已知：如图所示，点为的平分线上一点，于，．

求证：．

如图，过点作于，易证

且（全等三角形对应边相等）

，且

，即

故

从而

★★

已知：如图，四边形中，，．求证：平分．

分别过作于，于．

易证，故，

根据角平分线判定定理，得平分，得证．

★★

⑴如图所示，中，、分别平分、，过点作的平行线分别交和于、．求证：．

⑵如图所示，平分，其余条件不变，试探索、、之间的数量关系．

⑴“平行线+角平分线等腰三角形”（本质上知二推一）可得：，．

⑵同理，、可知．

★★★★

如图所示，已知等腰直角三角形中，，，平分，，垂足为．

求证：．

延长、交于，证明，并利用三线合一的性质．

★★★

已知：如图，中，平分，为线段上异于点的任意一点．试比较与的大小，并说明理由．

如图，在上截取，联结．

易证，因此，

在中，，又，

因此，即．

★★★★

如图，已知在内，，，、分别在、上，并且、分别是、的角平分线，求证：．

导角，可得

∴

在上截取，得

∴，

∴

∴

∴

截长补短

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段（如证明形式）．截长就是在把一条边截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边．

截长：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等．

补短：延长一条短边，使延长部分等于另一短边，再证延长后的总长等于长边．

★★

已知：如图，在中，于，且．求证：．

法一截长：如图，在上截取，联结．

易证，．

法二补短：如图，在射线上截取，联结．

易证，．

★★

已知