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7.1.2全概率公式;
1.条件概率与概率的乘法公式:
(1)条件概率的定义:一般地,设A,B为两个随机事件0,称P为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)读法:一般把P(B|A)读作在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.
(3)条件概率的两种计算方法:
①在原样本空间中,先计算P(AB),P(A),再利用公式计算得P
②若事件为古典概型,可利用公式P(B|A)=,即在缩小后的样本空间中计算事件发生的概率.
(4)乘法公式:①P(AB)=P(A)?P(B|A).;
Bi(i=1,2)表示事件“第i次摸到蓝球”
P(R2)=P(R1R2UB1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)
=×—+×
a
=a+b;
Bi(i=1,2)表示事件“第i次去B餐厅”
P(A2)=P(A1A2UB1A2)=P(A1A2)+P(B1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)
=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7
因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
小结:上述两个问题都是将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.;
我们称此公式为全概率公式.
【特别提醒】(1).A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件;;
例1.有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率
均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
解设B=“任取一个零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),①设事件则Ω=A1UA2UA3,且A1,A2,A3两两互斥,根据题意得;
例1.有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率
均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
解(2)由题意知,就是计??在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.
P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,;
例1中P(Ai),P(Ai|B)得实际意义是什么?
P(Ai)是试验之前就已知的概率,它是第i台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生),P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率.如果对加工的次品,要求操
作员承担相应的责任,那么,,就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额.;
它用来描述两个条件概率之间的关系;
例2.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1
有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率;A=“发送信号为0”B=“接收信号为0”
(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
A=“发送信号为1”B=“接收信号为1”;
【规律方法】;
3.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反
应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种病患者占人口数的0.5%,则:
(1)某人化验结果为阳性的概率为;
解析A=“呈阳性反应”,B=“患有此种病”
P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(A]B)
=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.
(2)若此人化验结果为阳性,则此人确实患有
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