7自招A 第7讲 直角三角形（勾股定理与斜边中线）（教师版）.docxVIP

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PAGE13/自招A7年级教师版第7讲

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第

第七讲

直角三角形（勾股定理与斜边中线

直角三角形

（勾股定理与斜边中线）

如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为．

联结，根据勾股定理，易求得，又，故根据勾股定理逆定理，

知，．

⑴已知：如图，中，，为斜边中点．

证明：．

⑵已知：如图，中，为边上的中点，．

证明：．

⑴延长到，使得，易证得，故有，，

，故可证得，故有，即．

⑵由已知，有，故，，又，

故，即，得证．

本题可用于模块二《斜边中线》的引入．

勾股定理

直角三角形的定义：

有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形（righttriangle）．在直角三角形中，夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边．

直角三角形可用符号“”表示，例如直角三角形可表示为“”，读作“直角三角形”．

勾股定理与逆定理：

①勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．

②勾股定理的逆定理：

如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．

勾股定理的几种经典证法：

赵爽弦图邹元治弦图美国总统Garfield证法

★★

⑴如图①，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（）．

A．B．C．D．

⑵如图②，已知，是的平分线，，．求的值．

图①图②

⑴；

⑵过作⊥于，则，，又，在中，得，设，则，则中，解得即

★★★

⑴如图，矩形纸片中，，，沿对角线折叠，求和重叠部分的面积．

⑵如下图，在正方形纸片中，将翻折到，延长交于点，若为中点，则________．

⑴易证，设，则，

在中，，即，解得，

⑵联结，设正方形边长为，设，则．

根据翻折的性质，，，．

由已知，，

在中，根据勾股定理，，

故在中，，

因此在中，，即，

展开括号得，即，解得，因此．

★★★

在中，，，，的垂直平分线交的延长线于，则________．

联结，勾股定理解三角形．

设，则

在中：，即

解得．

★★★

⑴如图，在中，，、分别是和上的任意一点，

求证：．

⑵已知：如图，在中，，点是边上的任意一点．

求证：是定值．

⑴

⑵作于点，因为，所以．在中，

由勾股定理得．

所以不论点在上何处，是定值．

★★★

如图，是矩形内一点．

求证：．

如图，过点作于点，于点．

则

得证．

★★★★★

如图，锐角三角形中，于，于，求证：．

设，，,

则由勾股定理

两式相加，得：

即

直角三角形斜边中线

直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互余．

②在直角三角形中，斜边大于直角边．

③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

推论：若三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

④特殊角：

Ⅰ．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

Ⅱ．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．

★★

⑴已知：如图，在中，，分别是的中点，且．

求证：．

F

F

E

D

C

B

A

⑵已知：如图，在中，于，于，、分别是、的中点．求证：．

⑴(已知)（垂直的定义）

分别是的中点（已知）

，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

(已知)（等式性质）

⑵联结．因为，所以．由是的中点，可得．

同理，所以．因为是的中点，所以．

★★★

已知：如图，的高交于点，点分别是的中点．

求证：垂直平分．

联结,

,是中点，

为斜边上的中线，

,同理,

,在的垂直平分线上，

同理可得，在的垂直平分线上，

故垂直平分．

★★★★

如图，，点是外一点，且，过点作，垂足为，连接，．点是的上一点，联结，延长至点，连接且．若平分，，求证：．

，延长交于，

则，又

∴

活用倍长中线，与直角三角形的斜边中线．等春季班学完中位线之后，还将结合中位线一起应用．

★★★★

如图，平行四边形中，，是的中点，于，，求．

取斜边中点，联结、，由斜边中线性质，

又，所以．设，如图导角（为猪蹄模型），由，得．即．

⑴直角三角形中，两直角边为、，斜边为，斜边上的高为，则与的大小关系

为；

⑵直角三角形两直角边边长为和，则斜边上的高长为