第4讲 比例线段（一）（学生版）.docxVIP

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PAGE17/8年级自招A班第4讲教师版

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第四讲

比例线段

（一）

比例的性质：

名称

文字叙述

举例

比例基本性质

反比性质

如果，那么

更比性质

如果，那么

如果，那么

合（分）比性质

合比

如果，那么或

或

合分比

如果（且，），

那么

等比性质

如果，且

那么

注：使用比例性质时，务必保证分母不为零，若不确定，则分类讨论．

理解比例线段及有关概念；掌握比例的性质，能运用比例线段的性质对比例式进行简单的变形；了解黄金分割的意义；

掌握三角形一边的平行线的性质定理和判定定理及平行线分线段成比例定理，能运用这些定理进行几何计算与证明．

比例线段

1．定义：两条线段的长度的比叫做两条线段的比．对于四条线段，若（或），则叫做成比例线段，简称比例线段．其中是的第四比例项．三条线段（）中，叫做和的比例中项．

①：表述比例线段时，要注意顺序；

②：因为线段的长度是正量，所以都大于．

2．比例线段的性质（见课前预习）

3．黄金分割（黄金分割与勾股定理被誉为几何学中的“双宝”）

如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比值（）叫做黄金分割数（简称黄金数）．

①：一条线段有两个黄金分割点，注意分类讨论；

②：，，而，．

黄金矩形

黄金三角形（正五角星）

黄金梯形

★☆☆☆☆

⑴已知，则和的比例中项．

⑵已知线段，，那么和的比例中项为．

⑶若线段的第四比例项是，求．

⑷已知四条线段能够组成比例，，求线段的长度．若四条线段成比例，线段的长度又是多少．

★★☆☆☆

⑴已知、、为非零实数，且，则代数式的值为．

⑵设，求的值．

⑶已知，求的值．

★★☆☆☆

⑴已知点把线段分割成和两（），如果是和的比例中项，那么的值为．

⑵已知点是线段的黄金分割点，若，则．

⑶已知是线段的黄金分割点，且，则的长为．

⑷如图，，是线段的个黄金分割点．

①求的长度；

②求，点是不是线段的黄金分割点？图中还有其他的黄金分割点吗？

★★★☆☆

中，，，平分交于，过作交于，作平分交于，过作交于，则线段的长度为，的长度为．

平行线分线段成比例

1．三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．

三角形一边的平行线

性质定理

如图，若有，

那么，，

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例．

三角形一边的平行线

性质定理推论

如图，若有，

那么．

2．三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

推论：如果一条直线截三角形的两边延长线（这两边延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

三角形一边的平行线

判定定理及推论

（面积法证明）

如图，或或．

注：不可作为的判定条件（理由如图）．

3．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．

平行线分线段

成比例定理

如图，若有，

那么，，

．

※平行线分线段成比例定理是三角形一边平行线性质定理的推广；三角形一边平行线性质定理可看作平行线分线段成比例定理的特殊情况．但要注意，平行线分线段成比例定理的逆命题是假命题，而三角形一边平行线性质定理的逆命题是真命题．

※平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，能改变角的位置并传递角，送线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．

利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下基本图形：

★★★☆☆

⑴如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，已知，，，那么的长等于．

⑵如图，，与相交于点，若，求的值．

⑶如图，已知在中，是上一点，与相交于点，与的延长线相交于点，已知，，那么的长为．

★★★☆☆

如图，在菱形中，点、分别在边、，，与交于点．

⑴求证：；

⑵当时，求证：四边形是平行四边形．

★★★★☆

⑴如图，梯形中，点在上，点在上，且．如果，且，请证明：．

⑵梯形中，，是的黄金分割点，且交于点，则．

★★★★☆

⑴如图所示，在中，是的中点，是上一点，且，联结并延长，交的延长线于点，