第7讲 相似三角形基本模型（一）（学生版）.docxVIP

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第七讲

相似三角形基本模型

（一）

1．如图，分别为的边上一点，交于点，且，试问与相似吗?如果是，请说明理由．

容易看出“斜”字型基本模型和“斜”字型基本模型

因为为公共角，所以根据性质可以考虑再找一对对应角相等

而由条件及，

可同时得到，

所以

所以

所以

2．中，，，点在线段上且，点在线段上，联结，使与原三角形相似，则．

掌握相似三角形中的“”字型和“”字型及旋转模型，记住三角形内接正方形模型结论，熟练运用这些相似模型进行几何的计算与证明．

“A”字型与“8”字型

注：在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第二图的“”字型图形时，就马上想到有一个公共角，遇到第三图和第四图的“”字型时就立马想到有一对对顶角可以利用．

若，那么我们可以看成是两个字型和字型的组合，其中有个很特殊且比较重要的结论：．

若，则有，

，

（、、、四点共圆）

★★☆☆☆

⑴在中，，点在线段上，且．如果在线段上找一点，使与原三角形相似，则．

⑵在中，点、分别在直线、上，，，，,那么．

★★☆☆☆

如图，已知，若，，，

⑴求证：；⑵找出、、之间的关系，并证明你的结论．

★★★★☆

如图，在中，、分别为、边上的高，且为，，则．

★★★☆☆

如图，在梯形中，，分别是的中点，交于，交于，求的长．

三角形内接正方形

内接矩形类的模型及结论：

注：其中(高之比等于相似比)，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．

★★★★☆

⑴如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

⑵如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．

⑶如图，比较左右两图中的两个内接正方形的大小，并说明理由．

旋转模型

旋转模型可看做是字模型变化而来，其中

角：，

形：

注：当联结、时，可得．

★★★☆☆

如图，，，试说明．

★★★☆☆

如图，点是四边形的对角线上的一点，．

⑴求证：；

⑵求证：．

★★★☆☆

如图，在与中，，，与相交于点，，．

⑴求证：；

⑵若，求的长．

★★★★☆

⑴如图，四边形和均为正方形，求．

⑵如图，正和正，点既是的中点又是的中点，则．

★★★★★

如图，在中，，，，为内一点，，求．

已知：如图，

⑴求证：；⑵若，求的长度．

已知，如图在四边形中，，延长、相交于点，求证：

⑴；

⑵．

如图，已知有一块面积等于的三角形纸片，已知底边与底边上的高的和为（底边大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边在边上，顶点、分别在边、上，求加工成的正方形的边长．

如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

已知：在等腰直角中，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与、重合），，与交于点．求证：．

已知：如图，在中，点在边上，且，．

⑴求证：；

⑵当时，求证：．

已知：如图，在梯形中，，是的中点，分别连接、、、，且与交于点，与交于．

⑴求证：．

⑵若，，求的长．

在中，，，垂足为，、分别是，边上一点，且，．求证：．

如图，与是两个全等的等边三角形，六边形的边长分别记为，，，，，，求证：．

如图，在中，，，，点在边上，点，在上，四边形是一个边长为的正方形，且．

⑴求关于的函数解析式．

⑵当为何值时，取得最大值？并求出的最大值．