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PAGE9/8年级目标A班第10讲教师版

第十讲

相似综合（一）

（一）平行线分线段成比例

涉及的问题有：求线段之比，求线段长；证线段平行，线段成比例，线段相等，线段的和差倍分，

（二）常见辅助线的作法

常见的辅助线的作法是作平行线构造成比例线段，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．当已知图形中有定比分点时，一般过定比分点作平行线．

（三）基本模型

★☆☆☆☆

⑴已知点把线段分割成和两段（），如果是和的比例中项，那么的值等于．

⑵如图，点是的重心，过点，且，，那么．

⑴⑵

★★☆☆☆

如图，梯形中，，，点为边的中点，交于点．求：

⑴的值；

⑵的值．

⑴

延长交的延长线于点，则，

又∵，∴

⑵

∵，，∴，

∴，进而

★★☆☆☆

⑴如图，直线，，，，求和的长．

⑵如图，是的中线，在上，，的延长线交于点，若的面积是，求的面积．

⑶为的斜边上的高，是的中点，联结并延长交于．已知，求．

⑴，∴；，∴

（套用第四讲例7结论或过点作的平行线）

⑵过点作交于，∵，∴，

∵，∴，∴，，

进而

⑶由射影定理可得，，∴

过点作交延长线于，∵，∴

∵，∴

★★☆☆☆

⑴如图，中，是延长线上的一点，交于，求证：．

⑵如图，在平行四边形中，点为边上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点.求证：．

⑴或证

⑵

★★☆☆☆

如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点．

求证：．

⑴∵

∴，

∴，∴

★★★☆☆

中，交于，交于，联结交于，联结交于．求证：．

∵，∴

★★★☆☆

如图，若，，求证：．

∵，∴①∵，∴②，

①②得，∴．

★★★☆☆

如图，在中，，分别以为边向形外作正方形，设交于，交于，求证：．

设正方形的边长分别为，

∴，∴，

∴，∴．

★★★★★

如图，已知四条直线依次相交于点，过直线上任意一点引平行于的直线交直线于，过引直线平行于交于，过引平行于的直线交于，过引平行于的直线交于，求证：．

辅助线如下图，设，，则

⑴点是的重心，如果，，那么的长是．

⑵已知点是线段的黄金分割点，，那么的长是．

⑴

⑵或

⑴如图，梯形中，，，，延长后交于点，则的值为．

⑵如图，中，，在上截取，交于，则的值为，的值为．

⑴.延长交延长线于.

⑵，．延长交延长线于．

如图，梯形中，，对角线，交于点，交延长线于．求证：．

∵，

∴，

∴，即

如图，在中，为上一点，为延长线上一点，且，求证：．

过作交于（或过作，交延长线于点）

∴，，∴，∴．

如图，在中，分别是上的点，若，．求证：．

即

如图，梯形中，，，、分别是、的中点，直线分别交、的延长线于、，且，，试求的长．

联结

∵，

∴

∴，又∵

∴，∴

又∵，∴

如图，等腰直角中，，点为上任意一点，过作，，垂足分别为、，连，分别交，于、两点．

⑴若为的中点，找出图中与相等的线段并证明．

⑵若不为的中点，在⑴中与相等线段中找出一条仍然与相等的线段，并证明．

⑴

⑵∵，∴．

设，，∴，同理，∴．

如图，中，平分交于，，且．

求证：．

∵平分，

∴，

∴即