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PAGE9/8年级自招A班第11讲教师版

第十一讲

相似综合（二）

（一）相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．对于等积式的证明，常将其改成比例式．

1．横向定形法

欲证，横向观察，比例式中的分子的两条线段是和，三个字母恰为的顶点；分母的两条线段是和，三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．

2．纵向定形法

欲证，纵向观察，比例式左边的比和中的三个字母恰为的顶点；右边的比两条线段是和中的三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．

3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．

*比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题．这类问题的典型模型是共边型与射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．

*倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．

*复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．

（二）常见辅助线的作法

常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．当已知图形中有定比分点时，一般过定比分点作平行线．

（三）基本模型

★★☆☆☆

⑴如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，交于，．求证：．

⑵如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于．求证：．

★★☆☆☆

⑴如图，在中，，为中点，，为垂足，求证：．

⑵如图，在中，，，为延长线上的任一点，过点

作于点，联结，求证：．

★★☆☆☆

中，是边上的高，点在上，过作的平行线分别与交于两点，过点作于点，过点作于点．设，当四边形为正方形时，试求此正方形的边长．

★★☆☆☆

如图，已知点、分别在的边、上，线段与交于点，且.

⑴求证：；

⑵若，求证：.

★★★☆☆

如图，是斜边上的高，的平分线交于，交的平分线于．求证：．

★★★☆☆

如图，在四边形中，是的中点，且，过点作于．求的值．

★★★★☆

如图，直角梯形，，，点为中点，，相交于点．

⑴求证：；

⑵连交于点，求的值．

★★★★☆

如图，在四边形中，点、分别是、的中点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，联结，且．

⑴求证：；

⑵求证：；

⑶如图，若、所在直线互相垂直，求的值．

★★★★★

如图，在任意的外部作,和，使,,．求证：且．

如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于，交于．求证：．

如图，在中，于点，，于点．

求证：．

如图，在直角梯形中，，，．如果边上有一点，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形相似，那么这样的有个．

已知：如图，已知与均为等腰三角形，，．如果点在边上，且．点为与的交点．

⑴求证：；

⑵求证：．

如图，、、在一条直线上，以、为边长向上作正三角形、．

⑴如图，连、，相交于，求证：；

⑵如图，若，，点在上，，连交于，连交于点，求的长．

如图，在正方形中，为中点，交的延长线于点，，交于、．

⑴求证：；

⑵若，求的值．

如图所示，在中，所对边的长度分别为，．求证：．

如图，在中，，于，的平分线分别与、交于、．求证：⑴；⑵若，则．