第13讲 二次函数的图像和性质（学生版）.docxVIP

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PAGE11/8年级自招A班教师版第13讲

第十三讲

二次函数的图像

与性质

二次函数的图像与性质

一、二次函数的定义

一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数．

注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．

二、二次函数的图像及性质

二次函数的图像是一条曲线，叫做抛物线．抛物线是轴对称图形，有且只有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点是这个抛物线的顶点．

1．二次函数的性质：

⑴抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是直线（轴）．

⑵函数的图像与的符号关系．

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；

2．二次函数或（）的性质

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，

前者通过配方可以得到后者，即，其中

⑴开口方向：

开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．

温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反．

⑵对称轴：直线（或直线）

和共同决定抛物线对称轴的位置

当时，抛物线的对称轴为轴；

当、同号时，对称轴在轴的左侧；

当、异号时，对称轴在轴的右侧．

通常简记作“左同右异”

⑶顶点坐标：（或）

⑷最值：

时有最小值（或）；时有最大值（或）；

⑸单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）

①当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；

②当时，对称轴左侧，随着的增大而增大，在对称轴的右侧，

随的增大而减小；

⑹与坐标轴的交点：

①与轴的交点：；

的大小决定抛物线与轴交点的位置：

当时，抛物线与轴的交点为原点；

当时，交点在轴的正半轴；

当时，交点在轴的负半轴．

②与轴的交点：方程（或）的根．

三、其他

1．二次函数图像的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．

一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．

2．点的坐标设法

⑴一次函数（）图像上的任意点可设为．其中时，该点为直线与轴交点．

⑵二次函数（）图像上的任意一点可设为．时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点．

⑶点关于的对称点为．

3．二次函数的图像信息

⑴根据抛物线的开口方向判断的正负性．

⑵根据抛物线的对称轴判断的大小．

⑶根据抛物线与轴的交点，判断的大小．

⑷根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．

⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式．

⑹根据抛物线的顶点，判断的大小．

★★☆☆☆

⑴与抛物线形状相同，顶点为的抛物线表达式为．

⑵已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是．

⑶如果抛物线与轴交于点，那么点关于此抛物线对称轴的对称点坐标是．

⑷如果抛物线的顶点坐标为，那么的值等于．

⑸若抛物线的顶点在轴的右侧，则的取值范围是．

⑹已知二次函数，那么它的图像一定不经过第象限．

⑺若二次函数的图像的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于轴的正半轴，则点在第象限．

⑴不论取任何实数，抛物线的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为．

⑵已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”．如图分别是当时二次函数的图像，它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是．

⑶已知二次函数，其中满足和，则该二次函数图像的对称轴是直线．

⑷已知二次函数，当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是取三个不同的值时二次函数的图像，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的表达式是．

★★☆☆☆

⑴开口向下的抛物线对称轴是，当自变量取、、、时，对应的函数值为，则的大小关系是．

⑵已知、是抛物线的图像上两点，则．

⑶二次函数的图像的对称轴为直线，若此抛物线与轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是．

⑷已知点，均在抛物线上，下列说法中，正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

⑸已知二次函数的图像过点．若点，，也在二次函数的图像上，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．

★★☆☆☆

⑴下图所示为二次函数的图像，则一次函数的图像不经过第象限．

⑵已知