第5讲 自招专题之取整方程 自招A班（教师版）.docxVIP

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PAGE11/自招A班9年级第五讲

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自招专题之取整方程第五讲

自招专题之

取整方程

第五讲

★

如果为任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则满足等式的的取值范围是________．

高斯函数的定义：设是一个实数，符号表示不超过实数的最大整数，即为的整数部分，如，，等等．同时，我们用符号表示的小数部分（小数部分恒为非负数），即定义，如，，．

也可看作一个函数，常被称为高斯函数（GaussFunction）．

高斯函数的性质：

由定义，，；

⑴①当是整数时，；②当不是整数时，；

⑵

⑶若，则；⑷当是整数时，；

⑸，；⑹若，，则；

⑺．

解含高斯函数的方程步骤可概括为：

⑴从原方程中解出(用含的代数式表示)，代入不等式组，求出的范围，从而求得的“可能取值”．

⑵将这些“可能值”代入原方程求解．

⑶检验．这是因为在⑴中将代入不等式组，放大了的取值范围，必须验根．

★亦可解出，由进行求解

★★（基本型）

解方程：．

方程可改写为．

将其代入，得：，

解不等式组得：．故或

解得或

经检验，和均是原方程的解．

★★（与）

若表示不超过实数的最大整数，，则方程的解．

．

将代入方程，可得，

将其代入，得：，

解得，故或或或，与之对应，或或或

经检验，舍去，原方程的解为或或．

★★（换元）

解方程：．

换元，设，则

原方程化为

将其代入，得，解得

或，代回得或

分别解得或．

★★★（多个）

⑴解方程：．

⑵求出所有的正整数，令

⑴根据高斯函数的性质知

，．

所以，，则．

解得：．故．

又因为是整数，所以，，，，．

解得，，，，．

经检验，和均是原方程的解．

⑵由得：

于是：；解得：

经检验：符合题意，所以

★★★★（与因式分解）

解方程：．

将代入方程，得

部分因式分解，得

，代入，得，

，与之对应

★★★（二次方程）

解方程：．

．

解得或．即只可能取值，，．

当时，，解得，

当时，，解得，

当时，，解得．

★★★（三次方程——放缩单调性）

⑴解方程．

⑵设表示不超过的最大整数，如，．则方程的解为________．

⑴易知，因为两式联立便可得出，

解不等式组很容易就得出，所以，代入原方程可得，

⑵显然，

∴，解得，

当时，（舍）；当时，；当时，

★★★★★（三次方程）

定义表示不超过的最大整数，如，．

⑴解方程：；

⑵求所有的实数，使得．

⑴因为，所以，即

联立不等式：，解得或

检验：当时，，所以，解得，（舍）

当时，，所以，解得，（舍）

（舍）

综上，原方程的解是

⑵因为为整数，所以为整数．则可令，且为整数

原式可化简为：，即

联立不等式：，解得：

令，解得：或

当时，；当时，，不符合题意．

所以；又因为为整数，检验可得：，

则，

★★★

设是实数，不大于的最大整数叫做的整数部分，记作如

⑴，求；

⑵解关于的方程：

⑴

⑵设，，，，

左边可得或，右边有，

也即或，或，

代入验证得或，或

★★★★

证明：对于任意实数，有．

证明：设，．

若，则，

，

所以，．

若，则，

，

所以，

因此，对于任意实数，恒成立．

【注】本题可拓展为：（Hermite恒等式）

★★★

已知，且，求的值．

注意到．

，所以．

高斯函数求值

★★

计算：的值．

原式

★★

计算：

当时，易知

且

原式

★★★

设，求．

放缩：

又

[注]：可继续练习拓展

解方程：．

若，则．

解得，

解方程：

显然，且

当时，，于是有：

得：∴

当时，，原方程化为：

得：

∴原方程的解是：或．

求方程的所有实数解．

根据高斯函数的性质知：

，．

所以，

则．

解得：． 故．

又因为是整数，所以，，，，，．

解得，，，，．

经检验，和均是原方程的解．

方程的所有解的平方和等于_____________．

，解得或，最后解得所有解为，答案为．

解方程：．

由①得，

由②得，

∴，∴

原方程即为，解得：；

所以，原方程的解为．

若实数满足．求的值

与为两相邻整数

设这列数中共有个，个

则，解得

，且，解得

正整数小于，并且满足等式有多少个？

由高斯函数的性质知，，当且仅当是整数时取等号；，当且仅当是整数时取等号；，当且仅当是整数时取等号．

所以，，当且仅当是整数时，上式等号成立．

因此，是整数．

又因正整数小于，所以，满足条件的有个．

设，则________．

注意到与（）能使与．因此可以通过计

算的值进行判断．

设．则，．

∴，，

，

，

由，知．所以，．

因此，．