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PAGE17/9年级自招自招A班第10讲
等腰三角形存在性问题第十
等腰三角形
存在性问题
第十讲
判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：
①从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；
②从角度入手，证明一个三角形的两个角相等．
解题中的常用技巧，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质，常用的构造方法有：
1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3、用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．
压轴题中点的存在性——等腰三角形
几何法：①分别以点、为圆心，为半径作圆，找点，，，．（检验）
②作线段的垂直平分线，找点．（检验）
※※※计算中经常用到（角大小知道时，相当好用！）
代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：
①；②；③．求出点．（检验）
★★
⑴在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点，如果是等腰三角形，则点坐标为________．
⑵如图，在矩形中，，，动点以个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以个单位/秒的速度从点出发，沿向点移动，当、两点中其中一点到达终点时则停止运动．在、两点移动过程中，当为等腰三角形时，的值为________．
⑶【自招A】如图，在矩形中，，．联结，的角平分线交于点，现把绕点逆时针旋转，记旋转后的为．当射线和射线都与线段相交时，设交点分别为，．若为等腰三角形，则线段长为________．
⑴点坐标为或或；
⑵；
⑶【·重庆中考】．
坐标系背景下的等腰三角形分类讨论
★★★
已知，一条抛物线的顶点为，且过点，与轴交于点，点是这条抛物线上一点，它的横坐标为，且，过点作轴，垂足为，分别交线段、于点、．
⑴求这条抛物线的解析式；
⑵求证：；
⑶当是等腰三角形时，求的值．
【·崇明二模】
⑴
⑵直线：；直线：
∴；`
∴，．
∴．
⑶，，
①，，，皆舍去
②，，，（舍）
③，，，（舍）
综上所述：当为等腰三角形时，或．
★★★★
如图，已知一次函数与正比例函数的图像交于点，且与轴交于点．
⑴求点和点的坐标；
⑵过点作轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．问：是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
⑴，
⑵①当在上运动时，．∴，，
若，，(舍)；
若时，(舍)
若，(舍)
②当在上运动时，．过作于,则．
设直线交于，则，，．
若，；
若，，即，得；
若，过作于，
在中，由，得，解得．
∴综上所述，或或或时，是等腰三角形．
★★★★
已知抛物线（是常数）的顶点为，直线：
⑴求证：点在直线上；
⑵若以抛物线和直线的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的的值．
⑶当时，抛物线与轴交于
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