2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：集合（10题）.docx

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2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：集合（10题）

一．解答题（共10小题）

1．（2024?苏州模拟）设S为空间直角坐标系E中的一个非空闭凸集，即S≠?，且若x，y∈S，则对任意k∈[0，1]有kx+（1﹣k）y∈S，且对任意的y∈?ES，都存在ε＞0，使得{x∈E|y﹣x＜ε}??ES，这里|a|为线段a的长度．称T?R的下确界或最大下界为infT，定义为小于等于在T中的所有数的最大实数，如果不存在这样的实数，则记为﹣∞．已知若D为闭集，则?ED为开集．

（1）设点w（0，1，0），S={(x，y，0)|0≤

（2）证明：对任意y∈?ES，存在唯一的一个x∈S，使得|y

（3）证明：对任意y∈?ES，存在非零向量p以及实数c＞0，使得对任意x∈S，都有：p?y≥p?x+c．

2．（2024?台州模拟）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称f：A→B为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作A=B．若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作

例如：对于集合A＝N*，B＝{2n|n∈N*}，存在一一对应关系y＝2x（x∈A，y∈B），因此A=

（1）已知集合C＝{（x，y）|x2+y2＝1}，D＝{（x，y）|x24+y

（2）证明：

①(0，

②N*

3．（2024?景德镇模拟）设X，Y是非空集合，定义二元有序对集合X×Y＝{（x，y）|x∈X，y∈Y}为X和Y的笛卡尔积．若R?X×Y，则称R是X到Y的一个关系．当（x，y）∈R时，则称x与y是R相关的，记作xRy．已知非空集合X上的关系R是X×X的一个子集，若满足?x∈X，有xRx，则称R是自反的：若?x，y∈X，有xRy，则yRx，则称R是对称的；若?x，y，z∈X，有xRy，yRz，则xRz，则称R是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称R是集合X中的一个等价关系，记作～．

（1）设X＝{1，2，3，4，5，6}，R＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，6），（2，2），（2，5），（3，2），（4，2），（4，4），（5，5）}，A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，求集合P＝{y|x∈A，xRy}与Q＝{x|y∈B，xRy}；

（2）设R是非空有限集合X中的一个等价关系，记X中的子集[x]R＝{y∈X|x∈X，xRy}为x的R等价类，求证：存在有限个元素xi∈X，使得X=ni=1[xi]R，且对任意i≠j，[xi]R∩[xj]R＝?（i，j∈{1，2，…，n

（3）已知数列{1bn-1}是公差为1的等差数列，其中b1≠1-2k，k∈N+，数列{an}满足bn=an+1an，其中a1≠0，前n项和为Sn（n∈N+）．若给出N+2上的两个关系R1={((m，n)

4．（2024?马鞍山模拟）已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果?x，y∈S，总有x+y，x﹣y，x?y∈S，则称S是数环．设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；②?x，y∈F且y≠0，有xy∈F，则称F是数域．由定义知有理数集

（1）求元素个数最小的数环S?

（2）证明：记Q(3)={a+3

（3）若F1，F2是数域，判断F1∪F2是否是数域，请说明理由．

5．（2024?重庆模拟）设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至少各有两个元素．对于给定的集合S，若存在满足如下条件的集合T：

①对于任意a，b∈S，若a≠b，都有ab∈T；②对于任意a，b∈T，若a＜b，则ba∈S．则称集合T为集合S的“

（1）若集合S1＝{1，3，9}，求S1的“K集”T1；

（2）若三元集S2存在“K集”T2，且T2中恰含有4个元素，求证：1?S2；

（3）若S3＝{x1，x2，?，xn}存在“K集”，且x1＜x2＜?＜xn，求n的最大值．

6．（2024?顺义区一模）给定正整数n≥3，设集合A＝{a1，a2，…，an}．若对任意i，j∈{1，2，…，n}，ai+aj，ai﹣aj两数中至少有一个属于A，则称集合A具有性质P．

（Ⅰ）分别判断集合{1，2，3}与{﹣1，0，1，2}是否具有性质P；

（Ⅱ）若集合A＝{1，a，b}具有性质P，求a+b的值；

（Ⅲ）若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1∈B，求集合B．

7．（2023?南阳模拟）已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．

（1）求A∩B，（?RA）∪B；

（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．

8．（2023?福建二模）一个由实数构成的集合M称