隐圆与蒙日圆问题（解析版）-高中数学.pdf

隐圆与蒙日圆问题

【新高考专用】

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】2

【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】4

【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】5

【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】7

【题型5阿波罗尼斯圆】9

【题型6蒙日圆】11

1.隐圆与蒙日圆问题

从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问

题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求解.

【知识点1隐圆与阿波罗尼斯圆】

1．隐圆问题

在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终

利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.

2．隐圆问题的几大类型

(1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长；

(2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值；

(3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角；

(4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值；

(5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆.

3．阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹

是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

【知识点2蒙日圆】

1．蒙日圆

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中

心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

1设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，如图.

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】

1.(2024·全国·二模)已知直线l:y=tx+5t∈R与直线l:x+ty-t+4=0t∈R相交于点P，且点P到

12

点Qa,3的距离等于1，则实数a的取值范围是()



A.-22-3,-22-1B.-22-3,22-1

C.-22-3,-22-1∪22+1,22+3D.-22-3,-22-1∪22-3,22-1