第5讲 一元二次方程整数解问题（一）（学生版）.docxVIP

PAGE9

PAGE9/自招体系7年级教师版第5讲

PAGE9

第五讲一元二次方程整数解问题（一）

第五讲

一元二次方程

整数解问题（一）

【重点】：①一元一次方程的整数解；

②完全平方式的参数判断

③运用因式分解及判别式求一元二次方程的整数解．

【难点】：判别式在整数解问题上的应用

解方程的整数解．

法一：分离整数

,，，

解得或或或．

法二：部分因式分解

，

或或或

解得或或或．

整数解问题（一）

基本题型和技巧

题型一、类型

设、、、为整数，则不定方程有：

定理1：若且不能整除，则不定方程没有整数解；

定理2：若是不定方程的一组整数解（称为特解），则

（为整数）是方程的全部整数解（称为通解）．

题型二、类型

例如，求的整数解．基本解法有两种：①恒等变形为，此时解显然有有限组，特别注意不要漏掉负数解．②分离整数为，此时容易求得的值，进一步求得．

题型三、一元二次方程的整数解

对于有理数系数的一元二次方程（是有理数,且），可以通过对方程两边同时乘以一个适当的数（零除外），将有理数系数的方程化为整系数方程．因此，我们常将有理数系数一元二次方程转化为整系数一元二次方程．

⑴因式分解法：从求根入手，通过因式分解，直接解出方程两根，然后结合整除的性质分析、求解．

⑵判别式法：二次方程有根的前提条件是判别式，借此求出参数或解的取值范围；另外，对于整系数一元二次方程而言，有有理根的条件是为完全平方数，此时可引入参数（设）求解．

⑶韦达定理：由根与系数的关系得到用待定字母表示的两根和、积式．接下来可用以下两类方法求解：

1．分离整数法：两根均为整数时，其和、积式亦均为整数，可对其和、积式进行整除分析

2．消参：运用和、积式消去待定字母，得到两整数根之间的关系式，借助因式分解和整数性质求解．

⑷巧选主元：选取适当字母为主元求解（一般选择次数较低字母为主元）．

本讲以方法⑴、⑵为主．

因式分解法确定整数解

因式分解，参数为整数：例1、2、3

★★

⑴已知方程有两个不等的负整数根，则整数的值是________．

⑵若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有个．

★★★

已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．

★★★★★

设关于的二次方程及（其中、均为正整数，且）有一个公共根，求的值．

因式分解，参数为常数，则消参

★★★★

已知为常数，关于的方程的解是整数，求的值．

★★★★

已知关于的方程的根都是整数，求实数的值．

部分因式分解

★★★

当为何整数时，方程有整数解？

判别式解整数解问题

当为一次式，或二次项系数为负的二次式时，此时可以先利用判别式求出参数范围，再求整数解．

★★

当是何整数时，关于的一元二次方程与的根是整数？

★★★

关于的方程的两个根分别为，．

⑴若，求的值；

⑵若，均为整数，求的值．

设法——设，只需为自然数，则为完全平方数

若经化简后为一个二次项系数为正的二次式，则可配方后因式分解求整数解．

已知关于的方程有整数解，求整数的值．

★★★★

⑴已知方程的两根均为整数，试求整数的值．

⑵已知是正整数，关于的二次方程有一个正整数根，求这个根及的值．

设法

若经整理后为一次式．亦可通过设后消去原参数，用求根公式、或因式分解的方法解题．

关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的值．

已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有________个．

若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．

已知方程有整数根，求的值．

已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．

当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．