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2010-2023历年福建省安溪一中等三校高二下学期期末理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．

（1）求曲线C的方程；

（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．

(ⅰ)证明：k·kON为定值；

(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

2.已知不等式.

（1）求该不等式的解集M；

（2）若，求证：

3.设曲线C的参数方程为?(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______________．

4.函数=的最小值为________________．

5.如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元.

（1）求等待开垦土地的面积；

（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.

6.已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x，a∈R．

（1）当时，求函数y=f(x)的极值；

（2）是否存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

7.小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数及天数如下表：

售出个数

10

11

12

13

14

15

天数

3

3

3

6

9

6

试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：

（1）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；

（2）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量.试求小王增加订购量的概率.

（3）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望.

8.矩阵的特征值为______________．来源

9.若对于任意的实数，都有，则的值是（?????）

A．3

B．6

C．9

D．12

10.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有(?)

A．512

B．192

C．240

D．108

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．试题分析：（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；

（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC?kFN=-1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.

试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：.????4分

（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1,y1)，C(x2,y2）(x2y2)．

(ⅰ)联立方程组，得，

则，????????????5分

故，，?????7分

所以，所以k?kON=为定值.??????8分

(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC?kFN=-1，

因为F1(-1,0)，故，??10分

代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2=2k-8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在．???????????????13分

考点：1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.

2.参考答案：（1）；（2）详见解析．试题分析：（1）将已知不等式化为的形式，然后利用绝对值的几何意义知：，去掉绝对值符号，转化为代数不等式来解；（2）法一：应用比差法：作差，变形，定号；对差式变形时注意有理化的应用即可；法二：注意到所证不等式两边均为正，所以也可用比商法：作商，变形，与１比较大小；同样需注意用有理化的手段．

试题解析：（1）