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材料力学本构模型：弹塑性模型在材料加工中的应用

1材料力学基础

1.1应力与应变的概念

1.1.1应力

应力（Stress）是材料内部单位面积上所承受的力，通常用希腊字母σ表示。

在材料力学中，应力分为正应力（σ）和切应力（τ）。正应力是垂直于材料截

面的应力，而切应力则是平行于材料截面的应力。

1.1.2应变

应变（Strain）是材料在受力作用下发生的变形程度，通常用ε表示。应变

分为线应变（ε）和剪应变（γ）。线应变描述的是材料在受力方向上的伸长或

缩短，而剪应变描述的是材料在受力作用下发生的剪切变形。

1.2弹性模量与泊松比

1.2.1弹性模量

弹性模量（ElasticModulus）是材料在弹性变形阶段，应力与应变的比值，

反映了材料抵抗弹性变形的能力。对于线性弹性材料，弹性模量是一个常数，

不随应力或应变的变化而变化。

1.2.2泊松比

泊松比（Poisson’sRatio）是材料在弹性变形阶段，横向应变与纵向应变

绝对值的比值，通常用ν表示。泊松比反映了材料在受力时横向变形的程度，

其值通常在0到0.5之间。

1.3胡克定律与弹性变形

胡克定律（Hooke’sLaw）是描述材料在弹性变形阶段应力与应变关系的

基本定律，表达式为：

⋅

=

其中，σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。胡克定律表明，在弹性变形

范围内，应力与应变成正比。

1

1.3.1示例

假设有一根直径为10mm的钢棒，长度为1m，当受到1000N的拉力时，

其长度增加了0.5mm。已知钢的弹性模量E=200GPa，计算钢棒的应变和应力。

#定义变量

diameter=10e-3#直径，单位：m

length=1#长度，单位：m

force=1000#力，单位：N

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

delta_length=0.5e-3#长度变化，单位：m

#计算截面积

area=3.14159*(diameter/2)**2

#计算应变

strain=delta_length/length

#计算应力

stress=force/area

#根据胡克定律计算理论应变

theoretical_strain=stress/E

#输出结果

print(f应变：{strain:.6f})

print(f应力：{stress:.2f}MPa)

print(f理论应变（根据胡克定律计算）：{theoretical_strain:.6f})

1.4塑性变形与屈服准则

1.4.1塑性变形

塑性变形（PlasticDeformation）是指材料在超过弹性极限后，即使去除外

力，材料也不能完全恢复到原始形状的变形。塑性变形是材料在加工过程中常

见的现象，如金属的锻造、挤压、拉拔等。

1.4.2屈服准则

屈服准则（YieldCriterion）是判断材料是否开始发生塑性变形的标准。常

见的屈服准则有冯·米塞斯屈服准则（vonMisesYieldCriterion）和特雷斯卡屈

服准则（TrescaYieldCriterion）。

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1.4.2.1冯·米塞斯屈服准则

冯·米塞斯屈服准则认为，材料发生塑性变形的条件是材料内部的畸变能

密度达到某一临界值。表达式为：

3

2=

其中，J_2是第二不变量，σ_y是屈服应力。

1.4.2.2特雷斯卡屈服准则

特雷斯卡屈服准则认为，材料发生塑性变形的条件是最大切应力达到某一

临界值。表达式为：

=

其中，τ_max是最大切应力，σ_y是屈服应力。

1.4.3示例

假设有一块金属材料，其屈服应