空间向量的数量积导学案 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

1.1.2空间向量的数量积运算

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一：学习目标

理解空间向量两个向量夹角的定义

掌握空间向量数量积公式及其应用

能运用数量积解决夹角和距离问题

二：思维框架

三：自学预习

空间向量的夹角

定义

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O，作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角

记作

〈a,b〉

范围

〈a,b〉∈[0,π].当〈a,b〉=π2时，a⊥

空间向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b，则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积，记作a·b

向量数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律

（λa）·b=λ（a·b），λ∈R

交换律

a·b=b·a

分别律

a·(b+c)=a·b＋a·c

数量积的性质

若两个非零向量a,b，则a⊥b?a·b=0

若a与b同向，则a·b=|a||b|；

若反向，则a·b=—|a||b|；

特别地，a·a=|a|2或|

若?为a·b的夹角，则cos?=a

|a·b|≤|a|·|b|

投影向量

如图（1），在空间，在向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一平面ɑ内，进而利用平面向量上的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a,b〉b|b|向量c称为向量a在向量b上的投影向量，类似地，可以将向量a

如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A,B，得到AB，向量AB称为向量a在平面β

四:课堂探究

探究一：空间向量数量积的运算

例1：如图，在平行六面体中ABCD—ABCD中，AB=5，AD=3，AA=7,∠BAD=60°,∠BAA=∠DAA=45°,求

AB·AD;

AC的长（精确到0.1）.

探究二：利用数量积求夹角

例2在正三棱柱ABC—ABC中，若AB=2BB,则AB与BC所成夹角为多少？

O探究三：利用数量积证明垂直问题

O

例3在四面体OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证OC⊥AB

A

A

C

C

B

B

五：课堂归纳

空间向量的夹角概念

空间向量的数量积的概念，性质和运算律

由平面向量数量积得出空间向量数量积的定义及性质

六：课程收获

你收获了什么！

七：作业布置

课本18页，练习1，2，3