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材料力学本构模型：线弹性模型在工程中的应用

1材料力学基础

1.1应力与应变的概念

在材料力学中，应力（Stress）和应变（Strain）是两个核心概念，用于描

述材料在受力时的行为。

1.1.1应力

应力定义为单位面积上的内力，通常用符号σ表示。它分为两种类型：-

正应力（NormalStress）：垂直于截面的应力，可以是拉伸或压缩。-切应力

（ShearStress）：平行于截面的应力，导致材料的剪切变形。

1.1.2应变

应变是材料变形的度量，没有单位。它也分为两种类型：-线应变（Linear

Strain）：长度变化与原始长度的比值。-剪应变（ShearStrain）：角度变化的度

量，描述材料的剪切变形。

1.2胡克定律解析

胡克定律（Hooke’sLaw）是线弹性模型的基础，它描述了在弹性极限内，

应力与应变成正比关系。公式如下：

=

其中：-σ是应力，-ε是应变，-E是弹性模量（Young’sModulus），表

示材料抵抗弹性变形的能力。

1.2.1弹性模量和泊松比

弹性模量（E）是材料的固有属性，反映了材料在受力时抵抗变形的能力。

对于大多数金属材料，弹性模量是一个常数，直到应力超过材料的弹性极限。

泊松比（ν）是另一个重要的材料属性，定义为横向应变与纵向应变的比

值的绝对值。它描述了材料在受力时横向收缩的程度。

1.2.2示例计算

假设我们有一根直径为10mm的圆柱形钢棒，长度为1m，当它受到1000N

的拉力时，其长度增加了0.5mm。我们可以计算钢棒的正应力和线应变，进而

求出弹性模量。

1

#定义常量

diameter=10e-3#直径，单位：米

length=1#长度，单位：米

force=1000#力，单位：牛顿

delta_length=0.5e-3#长度变化，单位：米

#计算截面积

area=(diameter/2)**2*3.14159

#计算正应力

stress=force/area

#计算线应变

strain=delta_length/length

已知弹性模量，这里我们假设未知，需要计算

#EE

#假设已知的弹性模量为200GPa，用于验证计算

E_known=200e9#弹性模量，单位：帕斯卡

#计算弹性模量

E_calculated=stress/strain

print(f正应力:{stress:.2f}Pa)

print(f线应变:{strain:.6f})

print(f计算得到的弹性模量:{E_calculated:.2e}Pa)

1.3弹性模量和泊松比

1.3.1弹性模量的物理意义

弹性模量是材料抵抗弹性变形能力的度量。在弹性范围内，材料的应力与

应变成正比，比例系数即为弹性模量。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越

强。

1.3.2泊松比的物理意义

泊松比描述了材料在受力时横向收缩的程度。当材料受到拉伸或压缩时，

除了在受力方向上发生变形外，还会在垂直方向上发生变形。泊松比就是垂直

方向上的应变与受力方向上的应变的比值的绝对值。

1.3.3示例计算泊松比

假设我们有一块材料，当它在x方向上受到拉伸时，x方向的应变为0.002，

2

而y方向的应变为-0.0004。我们可以计算泊松比。

#定义应变

strain_x=0.002#x方向的应变

strain_y=-0.0004#y方向的应变

#计算泊松比

poisson_ratio=abs(strain_y/strain_x)

print(f泊松比:{poisson_ratio:.2f})

以上内容详细介绍了材料力学基础中的应力与应变概念、胡克定律的解析

以及弹性模量和泊松比的计算方法，通过具体的示例代码，帮助理解这些概念

在实际工程问题中的应用。

2线弹性模型理论

2.1线弹性模型的定义