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材料力学本构模型：粘弹性模型：标准线性固体力学模型

教程

1绪论

1.1粘弹性模型的定义

粘弹性材料，作为一种同时展现出弹性与粘性特性的材料，其行为在受力

时不仅会像弹性材料那样立即发生形变并在力去除后恢复原状，还会像粘性材

料那样在受力后逐渐发生形变，且形变不会完全恢复。粘弹性模型是用来描述

这类材料在不同时间尺度下力学行为的数学模型。

在粘弹性模型中，标准线性固体力学模型是最基础且重要的模型之一。它

通过串联和并联的弹簧与粘壶（或阻尼器）来模拟材料的粘弹性行为。弹簧代

表弹性，而粘壶则代表粘性。标准线性固体力学模型由一个弹簧和一个粘壶串

联，再与另一个弹簧并联组成，能够较好地描述材料在加载和卸载过程中的应

力-应变关系。

1.2粘弹性与弹性、塑性的区别

弹性材料：弹性材料在受力时会发生形变，但一旦力被移除，材

料会立即恢复到原来的形状，形变是可逆的。弹性材料的应力-应变关系

遵循胡克定律，即应力与应变成线性关系。

塑性材料：塑性材料在受力超过一定阈值后会发生永久形变，即

使力被移除，材料也不会完全恢复到原来的形状。塑性形变是不可逆的，

材料的应力-应变关系在超过屈服点后不再遵循线性关系。

粘弹性材料：粘弹性材料的特性介于弹性与塑性之间。在受力时，

材料会表现出弹性行为，但形变会随时间逐渐增加，这称为蠕变。当力

去除后，材料的恢复过程也会随时间而变化，这称为应力松弛。粘弹性

材料的应力-应变关系不仅与力的大小有关，还与时间有关，因此不能简

单地用胡克定律描述。

1.2.1示例：标准线性固体力学模型的应力-应变关系

假设我们有一个标准线性固体力学模型，由弹簧E1和粘壶η串联，再与弹

簧E2并联。当模型受到一个恒定的应力σ时，应变ε随时间t的变化可以由以

下方程描述：

=++

12

其中，和是弹簧的弹性模量，η是粘壶的粘性系数。这个方程表明，

12

应变不仅取决于当前的应力，还取决于应力的历史，即应力随时间的变化率。

1

1.2.2代码示例：使用Python模拟标准线性固体力学模型的应力松

弛

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义模型参数

E1=1000#弹簧E1的弹性模量

E2=500#弹簧E2的弹性模量

eta=10#粘壶的粘性系数

t_max=100#模拟时间

dt=0.1#时间步长

sigma=100#应用的恒定应力

#初始化时间数组和应变数组

t=np.arange(0,t_max,dt)

epsilon=np.zeros_like(t)

#应力松弛模拟

epsilon[0]=sigma/(E1+E2)#初始应变

foriinrange(1,len(t)):

epsilon[i]=(sigma/(E1+E2)+(sigma/E1)*np.exp(-E1*dt/eta))*np.exp(-E2*dt/(E1+E

2))+epsilon[i-1]

#绘制应力松弛曲线

plt.figure()

plt.plot(t,epsilon)

plt.xlabel(时间(s))

plt.ylabel(应变)

plt.title(标准线性固体力学模型的应力松弛)

plt.grid(True)

plt.show()

在这个示例中，我们使用了Python的numpy库来处理数值计算，以及

matplotlib库来绘制应力松弛曲线。通过定义模型参数，包括弹簧的弹性模量和

粘壶的粘性系数，我们模拟了一个标准线性固体力学模型在恒定应力作用下的

应变随时