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第58讲两条直线的位置关系
知识梳理
知识点一:两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现,如表所示.
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或中有一个为0,另一个不存在.
知识点二:三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线,求间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设,则与之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
4、双根式
双根式型函数求解,首先想到两点间的距离,或者利用单调性求解.
【解题方法总结】
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式:设点关于点的对称点为,则根据中点坐标公式,有
可得对称点的坐标为
2、点关于直线对称
点关于直线对称的点为,连接,交于点,则垂直平分,所以,且为中点,又因为在直线上,故可得,解出即可.
3、直线关于点对称
法一:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;
法二:求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
4、直线关于直线对称
求直线,关于直线(两直线不平行)的对称直线
第一步:联立算出交点
第二步:在上任找一点(非交点),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步:利用两点式写出方程
5、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
点关于点的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
6、过定点直线系
过已知点的直线系方程(为参数).
7、斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程(是参数).
8、平行直线系
与已知直线平行的直线系方程(为参数).
9、垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程(为参数).
10、过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程:(为参数).
必考题型全归纳
题型一:两直线位置关系的判定
例1.(2024·高二课时练习)直线与互相垂直,则这两条直线的交点坐标为(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】易知直线的斜率为,
由两直线垂直条件得直线的斜率,解得;
联立,解得;
即交点为
故选:C.
例2.(2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试)已知过点和点的直线为l1,.若,则的值为(????)
A. B.
C.0 D.8
【答案】A
【解析】因为,所以,解得,又,所以,
解得.所以.
故选:A.
例3.(2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试)设直线,,则是的(????)
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时,直线,,
此时,则,所以,故充分性成立;
当时,,解得或,故必要性不成立;
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选:C.
变式1.(2024·广东东莞·高三校考阶段练习)直线:与直线:平行,则(????)
A.或 B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线:与直线:平行,
所以或,
当时,直线:,直线:,
此时直线与直线平行,满足题意,
当时,直线:,直线:,
此时直线与直线平行,满足题意,
故选:A.
变式2.(2024·全国·高三专题练习)已知直线:,:,则条件“”是“”的(????)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件
【答案】B
【解析】若,则,
解得或.
故是的充分不必要条件.
故选:B
变式3.(2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模)已知直线,若,则(????)
A. B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】因为直线,且,则,
所以.
故选:B
变式4.(2024·全国·高三专题练习)已知A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),点D使AD⊥BC,AB∥CD,则点D的坐标为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设D(x,y),∵AD⊥BC,∴·=-1,∴x+5y-9=0,
∵AB∥CD,∴=,∴x-2y-4=0,由得,,
故选:D.
变式5.(2024·甘肃陇南·高三统考期中)已知的顶点,,其垂心为,则其顶点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】为的垂心????,
又,
直线斜率存在且,
设,则,解得:????
本题正确选项:
变式6.(2024·全国·高三专题练习)直线,直线,下列说法正确的是(
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