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一、解答题
1.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,三角形OAB的边OA、OB分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上,A(a,0),a是方程的解,且△OAB的面积为6.
(1)求点A、B的坐标;
(2)将线段OA沿轴向上平移后得到PQ,点O、A的对应点分别为点P和点Q(点P与点B不重合),设点P的纵坐标为t,△BPQ的面积为S,请用含t的式子表示S;
(3)在(2)的条件下,设PQ交线段AB于点K,若PK=,求t的值及△BPQ的面积.
2.如图1,已知直线CD∥EF,点A,B分别在直线CD与EF上.P为两平行线间一点.
(1)若∠DAP=40°,∠FBP=70°,则∠APB=
(2)猜想∠DAP,∠FBP,∠APB之间有什么关系?并说明理由;
(3)利用(2)的结论解答:
①如图2,AP1,BP1分别平分∠DAP,∠FBP,请你写出∠P与∠P1的数量关系,并说明理由;
②如图3,AP2,BP2分别平分∠CAP,∠EBP,若∠APB=β,求∠AP2B.(用含β的代数式表示)
3.已知,如图:射线分别与直线、相交于、两点,的角平分线与直线相交于点,射线交于点,设,且.
(1)________,________;直线与的位置关系是______;
(2)如图,若点是射线上任意一点,且,试找出与之间存在一个什么确定的数量关系?并证明你的结论.
(3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转(如图)分别与、相交于点和点时,作的角平分线与射线相交于点,问在旋转的过程中的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
4.问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC的度数.小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°.
问题解决:
(1)如图2,AB∥CD,直线l分别与AB、CD交于点M、N,点P在直线I上运动,当点P在线段MN上运动时(不与点M、N重合),∠PAB=α,∠PCD=β,判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由;
(2)在(1)的条件下,如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系;
(3)如图3,AB∥CD,点P是AB、CD之间的一点(点P在点A、C右侧),连接PA、PC,∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q.若∠APC=116°,请结合(2)中的规律,求∠AQC的度数.
5.如图,,直线与、分别交于点、,点在直线上,过点作,垂足为点.
(1)如图1,求证:;
(2)若点在线段上(不与、、重合),连接,和的平分线交于点请在图2中补全图形,猜想并证明与的数量关系;
6.如图1,已AB∥CD,∠C=∠A.
(1)求证:AD∥BC;
(2)如图2,若点E是在平行线AB,CD内,AD右侧的任意一点,探究∠BAE,∠CDE,∠E之间的数量关系,并证明.
(3)如图3,若∠C=90°,且点E在线段BC上,DF平分∠EDC,射线DF在∠EDC的内部,且交BC于点M,交AE延长线于点F,∠AED+∠AEC=180°,
①直接写出∠AED与∠FDC的数量关系:.
②点P在射线DA上,且满足∠DEP=2∠F,∠DEA﹣∠PEA=∠DEB,补全图形后,求∠EPD的度数
7.观察下列各式,并用所得出的规律解决问题:
(1),,,……
,,,……
由此可见,被开方数的小数点每向右移动______位,其算术平方根的小数点向______移动______位.
(2)已知,,则_____;______.
(3),,,……
小数点的变化规律是_______________________.
(4)已知,,则______.
8.阅读下列材料:小明为了计算的值,采用以下方法:
设①
则②
②-①得,
请仿照小明的方法解决以下问题:
(1)________;
(2)_________;
(3)求的和(,是正整数,请写出计算过程).
9.规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b):如果,那么(a,b)=c.
例如:因为23=8,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定,填空:
(3,27)=_______,(5,1)=_______,(2,)=_______.
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象:(3n,4n)=(3,4)小明给出了如下的证明:
设(3n,4n)=x,则(3n)x=4n,即(3x)n=4n
所以3x=4,即(3,4)=x,
所以(3n,4n)=(3,4).
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由:(4,5)+(4,6)=(4,30)
10.阅读下面文字:
对于
可以如下计算:
原式
上面这种方法叫拆项法,你看懂了吗?
仿照上面的方法,计算:
(1)
(2)
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