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第58讲两条直线的位置关系
知识梳理
知识点一:两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现,如表所示.
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或中有一个为0,另一个不存在.
知识点二:三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线,求间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设,则与之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
4、双根式
双根式型函数求解,首先想到两点间的距离,或者利用单调性求解.
【解题方法总结】
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式:设点关于点的对称点为,则根据中点坐标公式,有
可得对称点的坐标为
2、点关于直线对称
点关于直线对称的点为,连接,交于点,则垂直平分,所以,且为中点,又因为在直线上,故可得,解出即可.
3、直线关于点对称
法一:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;
法二:求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
4、直线关于直线对称
求直线,关于直线(两直线不平行)的对称直线
第一步:联立算出交点
第二步:在上任找一点(非交点),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步:利用两点式写出方程
5、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
点关于点的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
6、过定点直线系
过已知点的直线系方程(为参数).
7、斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程(是参数).
8、平行直线系
与已知直线平行的直线系方程(为参数).
9、垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程(为参数).
10、过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程:(为参数).
必考题型全归纳
题型一:两直线位置关系的判定
例1.(2024·高二课时练习)直线与互相垂直,则这两条直线的交点坐标为(????)
A. B.
C. D.
例2.(2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试)已知过点和点的直线为l1,.若,则的值为(????)
A. B.
C.0 D.8
例3.(2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试)设直线,,则是的(????)
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
变式1.(2024·广东东莞·高三校考阶段练习)直线:与直线:平行,则(????)
A.或 B. C. D.
变式2.(2024·全国·高三专题练习)已知直线:,:,则条件“”是“”的(????)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件
变式3.(2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模)已知直线,若,则(????)
A. B.0 C.1 D.2
变式4.(2024·全国·高三专题练习)已知A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),点D使AD⊥BC,AB∥CD,则点D的坐标为(????)
A. B.
C. D.
变式5.(2024·甘肃陇南·高三统考期中)已知的顶点,,其垂心为,则其顶点的坐标为
A. B. C. D.
变式6.(2024·全国·高三专题练习)直线,直线,下列说法正确的是(????)
A.,使得 B.,使得
C.,与都相交 D.,使得原点到的距离为3
变式7.(2024·全国·高三对口高考)设分别为中所对边的边长,则直线与直线的位置关系是(????)
A.相交但不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合
【解题方法总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断,也可以按照以下方法判断:一般地,设(不全为0),(不全为0),则:
当时,直线相交;
当时,直线平行或重合,代回检验;
当时,直线垂直,与向量的平行与垂直类比记忆.
题型二:两直线的交点与距离问题
例4.(2024·全国·高三专题练习)若直线与直线的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()
A. B.
C. D.
例5.(2024·上海浦东新·华师大二附中校考三模)已知三条直线,,将平面分为六个部分,则满足条件的的值共有(????)
A.个 B.2个 C.个 D.无数个
例6.(2024·全国·高三专题练习)若三条直线不能围成三角形,则实数的取值最多有(????)
A.个 B.个
C
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