八年级上册数学2.5角平分线的性质和判定.pptxVIP

明德力行·格物致知2.5角平分线的性质和判定

小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与自来水管道和天然气管道相连。问题1：点P在什么位置上？问题2：怎样修建管道最短？新修的两条管道长度有什么关系？

1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.oBCA12符号语言：∵射线OC是∠AOB的角平分线∴∠1=∠2（一）知识回顾

2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.OPAB垂线段PO的长度（一）知识回顾

本节课内容：角平分线的性质和判定学习目标：1.通过研读文本和动手操作，探究并推理证明角平分线的性质和判定，能用尺规作一个角的平分线；2.通过小组讨论，利用角平分线的性质和判定解决边角问题，并解决实际问题.

在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点A的某条直线对折，使角的两边AB与AC重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为AD.你发现∠BAC是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？CBAD结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.任务一：探究角的轴对称性

下列图形中一定是轴对称图形的是（）A.梯形B.直角三角形C.角D.平行四边形跟踪练习C

3.用圆规比较PM与PN的大小，你有什么发现？PM=PNACBD1.如图，在∠BAC的角平分线AD上，任意取一点P2.过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N；PM┐N┐任务二：探究角平分线的性质

已知：如图，AP平分∠BAC,PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N；求证：PM=PN你能说明你的发现是正确的吗？ACBDPMN证明：∵AD平分∠BAC∴∠MAP=∠PAN∵PM⊥AB,PN⊥AC∴∠AMP=∠ANP=90°在△AMP和△ANP中∠AMP=∠ANP∠MAP=∠PANAP=AP∴△AMP≌△ANP（AAS）∴PM=PN

角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.CBMAPND应用所具备的条件：（1）AD为角的平分线；（2）点P在该平分线上；（3）PM⊥ABPN⊥AC作用：判断线段相等的依据.符号语言：∵AP平分∠BACPM⊥AB，PN⊥AC∴PM=PN角平分线的性质

1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE.()2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PE=PD.()3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.()（1题）（2题）（3题）×√×判断正误

活动2：点在角平分线上的判定反之，点P是∠BAC内的一点，若满足PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N，且PM=PN.通过折叠你发现∠BAP与∠CAP有什么关系？由此你能得到什么结论？∠BAP与∠CAP重合CBMAPND

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）点P在∠BAC的内部；（2）PM⊥ABPN⊥AC；（3）PM=PN作用：证明角相等的依据符号语言：∵PM⊥AB，PN⊥ACPM=PN∴∠1=∠2，点P在∠BAC的角平分线上CBMAPND12点在角平分线上的判定

如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F，且PE=PF.Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和N.QM与QN相等吗？为什么？练习:解：相等证明：∵PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF∴OP为∠AOB的平分线,（角平分线的判定）∵QM⊥OA,QN⊥OB∴QM=QN（角平分线的性质)

如图，已知一个∠BAC，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗？ABC2.作法：要作出∠BAC的平分线，只要设法确定角平分线上除点A外的一点P的位置，然后连接AP就可以了.1.分析①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交这个角的两边于E，F两点；③作射线AP.射线AP就是所求作的∠BAC的平分线.?PEF任务三:用尺规作角的平分线

（1）为什么图中所作出的射线AP是∠BAC的平分线呢?ABCPFE连接PE，PF，因为AE=AF，EP=FP，AP=AP由SSS得，△APE≌△APF.所以∠BAP=