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第18讲函数的综合应用
知识梳理
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现,通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题,求解这些问题时,着重掌握函数的性质,把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通,从而找到解题的突破口,要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法;掌握函数图像的各种变换形式(如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等);了解反函数的概念与性质;掌握指数、对数式大小比较的常见方法;掌握指数、对数方程和不等式的解法;掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义,特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑:
比如图(1)函数,图(2)函数
(1)当为奇数时,函数的图象是一个“”型,且在“最中间的点”取最小值;
(2)当为偶数时,函数的图象是一个平底型,且在“最中间水平线段”取最小值;
若为等差数列的项时,奇数的图象关于直线对称,偶数的图象关于直线对称.
3、若为上的连续单峰函数,且为极值点,则当变化时,的最大值的最小值为,当且仅当时取得.
必考题型全归纳
题型一:函数与数列的综合
例1.(2024·全国·高三专题练习)已知数列,满足,,设数列的前项和为,则以下结论正确的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,把代入递推可得:,
令,,则,在单调递增,
,即当时,恒有成立,
,,,故选项错误;
又,选项错误;
,,
令,,则,函数在,上递减,,
,故选项正确;
又由可得,,(当且仅当时取““,可得,
,故选项错误,
故选.
例2.(2024·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前项和为,且满足,则下列有关数列的叙述正确的是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,解得或,
由零点存在性定理得,
当时,,数列单调递减,
,,同理,,
迭代下去,可得,数列单调递减,
故选项和选项都错误;
又,
,故错误;
对于,,
而,
,故正确.
故选.
例3.(2024·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前项和为,且满足,,则下列有关数列的叙述正确的是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于选项,,故错误;
对于选项,由知,,
故为非负数列,又,
设,则,
易知在,单调递减,在上单调递增,
所以,
又,所以,从而,
所以为递减数列,且,故错误;
对于选项,
因为数列为递减数列,当时,有,
,
故正确;对于选项,因为,而,故错误.故选.
变式1.(2024·全国·高三专题练习)已知数列满足:,且,下列说法正确的是(????)
A.若,则 B.若,则
C. D.
【答案】B
【解析】,故,.
,故且,于是与同号,
即.
对选项A:若,则,则,
,所以,错误;
对选项B:,,则,即,
于是,即,数列单调递减,,
,,故,即,
,故,
故,故,正确;
对选项C:考虑函数,,,
函数单调递增,结合的图像,如图所示:
??
由图可知当时,数列递减,
,所以,即,不正确;
对选项D:设,则,,
,即,
等价于,化简得,
而显然不恒成立,不正确;
故选:B.
变式2.(2024·陕西渭南·统考二模)已知函数,将的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列,对于,则下列说法中正确的是(????)
A. B.
C.数列是递增数列 D.
【答案】D
【解析】的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点的横坐标.
又注意到时,,时,,
,时,.
据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.
A选项,注意到时,,,.
结合图像可知当,.
当,.故A错误;
B选项,由图像可知,则,故B错误;
C选项,表示两点与间距离,由图像可知,
随着n的增大,两点间距离越来越近,即为递减数列,故C错误;
D选项,由A选项分析可知,,
又结合图像可知,当时,,即此时,
得在上单调递增,
则,故D正确.
故选:D
变式3.(2024·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试)无穷数列满足:,且对任意的正整数n,均有,则下列说法正确的是(????)
A.数列为严格减数列 B.存在正整数n,使得
C.数列中存在某一项为最大项 D.存在正整数n,使得
【答案】D
【解析】因为,所以,所以,
由可得,则,
则有,
设函数,
,
当时,,当时,,
所以在单调递增,单调递减,
所以,
因为,所以
以此类推,对任意,故B错误;
所以,故A错误;
因为,所以数列中不存在某一项为最大项,C错误;
因为,所以,
,
所以存在正整数n,使得,D正确.
题型二:函数与不等式的综合
例
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