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第24讲不等式的证明问题

知识梳理

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

必考题型全归纳

题型一：直接法

例1．（2024·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．

(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；

(2)求证：当时，．（其中）

例2．（2024·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求证：.

例3．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：，．

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

例4．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．

(1)证明：；

(2)讨论的单调性，并证明：当时，．

例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：当时，．

例6．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．

变式1．已知函数．

（1）证明：；

（2）数列满足：，．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）证明：，．

变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．

题型三：分析法

例7．已知函数，已知是函数的极值点．

（1）求；

（2）设函数．证明：．

例8．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知函数

(1)求在处的切线;

(2)若，证明当时，.

例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．

题型四：凹凸反转、拆分函数

例10．（2024·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.

例11．（2024·河南开封·校考模拟预测）设函数，．

(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；

(2)当时，求证：．

例12．已知函数．

（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；

（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．

变式4．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：．

题型五：对数单身狗，指数找朋友

例13．已知函数．

（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；

（Ⅱ）当时，求证．

例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．

（1）求、的值；

（2）当且时．求证：．

例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．

（1）求的表达式；

（2）设，．证明：对任意，，，恒有．

变式5．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数图象过点，求证：．

变式6．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．

题型六：放缩法

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知，，．

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，求证：．

例17．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数（，为自然对数的底数）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求证：.

例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的，当时，．

变式7．已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，．

变式8．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）解关于的不等式

题型七：虚设零点

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，证明：对任意的，．

例20．（2024·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.

(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；

(2)求证：.

例21．（2024·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．

(1)求实数的值；

(2)当时，证明：．

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．

变式10．（2024·山东淄博·统考三模）已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)证明：当时，.

题型八：同构法

例22．已知函数，．

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，证明．

例23．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：在上恒成立；

（3）求证：当时，．

例24．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，求证：．

变式11．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在