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第32讲解三角形
知识梳理
知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常见变形
（1），，；
（2），，；
；
；
．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
=1\*GB3①边化角，角化边
=2\*GB3②大边对大角大角对大边
=3\*GB3③合分比：
（2）内角和定理：
=1\*GB3①
同理有：，．
=2\*GB3②；
=3\*GB3③斜三角形中，
=4\*GB3④；
=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列．
知识点三：实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．
【解题方法总结】
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
3、三角形中的射影定理
在中，；；．
必考题型全归纳
题型一：正弦定理的应用
例1．（2024·福建龙岩·高三校联考期中）在中，角所对的边分别为，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以．
故选：C.
例2．（2024·全国·高三专题练习）在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由正弦定理可知，若t，
则，
即a＝tc，b＝ta，c＝bt，
即abc＝t3abc，即t＝1，
则a＝b＝c，即是等边三角形，
若是等边三角形，则A＝B＝C，则1成立，
即命题p是命题q的充要条件，
故选：C.
例3．（2024·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（????）
A． B． C．8 D．4
【答案】D
【解析】在中，由可得，
即
所以，因为，
所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故选：D.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
变式2．（2024·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习），，分别为内角，，的对边．已知，，则外接圆的面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理得，可得．
设外接圆的半径为，则，即，
故外接圆的面积为．
故选：B.
变式3．（2024·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理得，化简得，
则，
故选：B
变式4．（2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（????）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】依题意，
由正弦定理得.
故选：A
变式5．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（????）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】因为，根据正弦定理得
，
移项得，
即，即，
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