专题17 轴对称之将军饮马模型（原卷版）.docx

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专题17轴对称之将军饮马模型

什么是将军饮马？

传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。

如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？

据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.

为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究.

两定一动

（和值最小）

1. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？

2. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？

（差值最大）

3. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？

4. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？

（差值最小）

5. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？

二、一定两动

1. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？

2. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PC＋CD的值最小？

三、两定两动

3. 如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？

【典例分析】

【典例1】（2022春?漳州期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）

A． B．

C． D．

【变式1】（2021春?成都期末）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（）

A． B．

C． D．

【典例2】（2022春?埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）

A．4 B．4.8 C．5 D．6

【变式2-1】（2022春?河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）

A．5 B．3 C． D．

【变式2-2】（2021秋?甘南县期末）如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC＝3，CB＝4．则△ACF周长的最小值是（）

A．4 B．6 C．7 D．10

【变式2-3】（2022春?南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（）

A．3 B． C．3.5 D．

【典例3】（2021春?西乡县期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）

A．8 B．10 C．12 D．14

【变式3-1】（2021秋?海珠区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）

A．21 B．7 C．4 D．2

【变式3-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【典例4】（2020秋?郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（）

B． C．2 D．1

【变式4-1】（2021秋?澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）

A．5 B．15 C．20 D．30

【变式4-2】（2021秋?应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）

A．60° B．70° C．80° D．100°

【典例5】（2021秋