材料力学数值方法：边界元法(BEM)：BEM在热传导问题中的应用.pdfVIP

材料力学数值方法：边界元法(BEM)：BEM在热传导问题中

的应用

1绪论

1.1边界元法(BEM)简介

边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一种数值方法，用于求解偏

微分方程问题，特别是那些在无限域或半无限域中的问题。与有限元法（FEM）

相比，BEM只需要在问题的边界上进行离散化，这在处理无限域问题时可以显

著减少计算量。BEM的基本思想是将偏微分方程转换为边界积分方程，然后在

边界上进行数值求解。

1.2热传导问题的数学描述

热传导问题可以通过热传导方程来描述，这是一个二阶偏微分方程。在稳

态情况下，热传导方程可以简化为拉普拉斯方程或泊松方程，具体取决于热源

的存在与否。对于无限域或半无限域中的热传导问题，边界条件通常包括对流

边界条件、辐射边界条件或混合边界条件。

1.2.1拉普拉斯方程

在没有热源的情况下，稳态热传导问题可以由拉普拉斯方程描述：

∇2=0

∇2

其中，是温度，是拉普拉斯算子。

1.2.2泊松方程

当存在热源时，热传导问题则由泊松方程描述：

2

∇=−

其中，是热源强度。

1.3BEM与热传导问题的关联

边界元法在处理热传导问题时，首先将热传导方程转换为边界积分方程。

这一转换基于格林定理，将域内的积分转换为边界上的积分。对于热传导问题，

边界积分方程可以表示为：

​

∂,∂

=−

∂∂

1

其中，,是格林函数，是问题的边界，是边界上的外法向量。

1.3.1示例：使用BEM求解二维稳态热传导问题

假设我们有一个二维无限域中的稳态热传导问题，边界上存在对流边界条

件。我们将使用BEM来求解这个问题。

1.3.1.1数据样例

假设边界由四个线段组成，形成一个正方形，边长为1。边界上的对流系

ℎ

数为10，外部温度为20。我们希望求解正方形内部的温度分布。

∞

1.3.1.2代码示例

importnumpyasnp

fromscipy.integrateimportquad

#定义格林函数

defgreen_function(x,y):

return-1/(2*np.pi)*np.log(np.sqrt((x[0]-y[0])**2+(x[1]-y[1])**2))

#定义边界上的对流边界条件

defconvection_boundary_condition(y):

return10*(20-y[1])

#定义边界积分方程

defboundary_integral_equation(x):

total=0

foriinrange(4):

#每个边界段的积分

defintegrand(y):

returngreen_function(x,y)*convection_boundary_condition(y)

result,_=quad(integrand,0,1)

total+=result

returntotal

#求解边界积分方程

x=np.array([0.5,0.5])

T=boundary_integral_equation(x)

温度在点的