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第03讲指数与指数函数(核心考点精讲精练)
1.4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷,第4题,5分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022年新I卷,第7题,5分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
2.命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容,通常会结合其他知识点考查,需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质,难度中等偏下,分值为5分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查,需综合性学习备考
知识讲解
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②,定义域为
③,定义域为
④,定义域为
⑤,定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地,函数,叫做指数函数
指数函数的图象和性质
图
象
定义域
值域
性质
过定点
当时,;
时,
当时,;
时,
在上是增函数
在上是减函数
考点一、指数与指数幂的运算
1.(2022·北京·统考高考真题)已知函数,则对任意实数x,有(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】直接代入计算,注意通分不要计算错误.
【详解】,故A错误,C正确;
,不是常数,故BD错误;
故选:C.
2.(2020·全国·统考高考真题)设,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据已知等式,利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得,所以,
所以有,
故选:B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题,涉及到的知识点有对数的运算法则,指数的运算法则,属于基础题目.
1.(上海·高考真题)满足方程的值为________.
【答案】0
【分析】令,原方程化为,即可求出,从而求出;
【详解】解:令,原方程化为,解得或
因为,所以,即,解得
故答案为:0
【点睛】本题考查指数的运算,属于基础题.
2.(2023·全国·模拟预测)(????)
A. B. C. D.3
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【详解】.
故选:A.
3.(2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测)(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】.
故选:B.
4.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知函数,则(????)
A.为奇函数 B.为偶函数
C.为奇函数 D.为偶函数
【答案】B
【分析】方法一:可得,即可得到函数关于对称,从而得到为偶函数;
方法二:求出的解析式,即可判断.
【详解】方法一:因为,所以,
所以函数关于对称,将的函数图象向左平移个单位,关于轴对称,
即为偶函数.
方法二:因为,,
则,所以为偶函数;
又,故,,
所以,,故为非奇非偶函数;
又,故,,
所以,,故为非奇非偶函数;
又,故,,
所以,,故为非奇非偶函数.
故选:B
考点二、指数函数的图象及其应用
1.(2023·海南·模拟预测)已知函数,,的图象如图所示,则(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】由函数图象可确定大小关系,结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知:,.
故选:C.
2.(2023·山东枣庄·统考二模)指数函数的图象如图所示,则图象顶点横坐标的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象可知,,再结合二次函数的顶点式即可解出.
【详解】由图可知,,而,顶点横坐标为,所以.
故选:A.
1.(2023·安徽安庆·校考一模)函数与在同一直角坐标系下的图象大致是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据,,结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】,为定义域上的单调递增函数
,故不成立;
,为定义域上的单调递增函数,
,故C和D不成立.
故选:B.
2.(2023·安徽合肥·统考一模)(多选)已知,函数的图象可能是(????)
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【分析】根据给定的函数,按分类探讨,结合函数的单调性及函数增长速度的大小判断作答.
【详解】当时,函数在上单调递增,函数在上单调递减,
因此函数在上单调递增,而,函数图象为曲线,A可能;
当
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