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第71讲面积问题

知识梳理

1、三角形的面积处理方法

（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）

（2）水平宽·铅锤高或

（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．

2、三角形面积比处理方法

（1）对顶角模型

（2）等角、共角模型

3、四边形面积处理方法

（1）对角线垂直

（2）一般四边形

（3）分割两个三角形

4、面积的最值问题或者取值范围问题

一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．

必考题型全归纳

题型一：三角形的面积问题之底·高

例1．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆的左焦点为，且过点.

(1)求C的方程；

(2)不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.

（i）求的斜率；

（ii）求的面积的取值范围.

例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上运动，过点与垂直的直线和的中垂线相交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)设点是轨迹上的动点，点在轴上，圆内切于，求的面积的最小值.

例3．（2024·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.

(1)化简曲线的方程；

(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.

变式1．（2024·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.

变式2．（2024·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.

题型二：三角形的面积问题之分割法

例4．（2024·全国·高三专题练习）设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．

(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．

例5．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．

例6．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．

变式3．（2024·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦，.，的中点分别为，.

(1)证明：直线过定点；

(2)若，的斜率均存在，求面积的最大值.

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化

例7．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.

（1）求四边形的面积；

（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.

例8．（2024·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.

（1）求面积的最大值；

（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.

例9．（2024·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.

(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；

(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

变式4．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.

(1)求证：；

(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时