2024年上海市春季高考数学试卷[含答案].doc

2024年上海市春季高考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．的定义域．

2．直线的倾斜角大小为．

3．已知，则．

4．展开式中的系数为．

5．三角形中，，则．

6．已知，的最小值为．

7．数列，，，的取值范围为．

8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．

9．已知，求的的取值范围．

10．已知四棱柱底面为平行四边形，，且，求异面直线与的夹角．

11．正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到

12．，，，，任意，，，，满足，求有序数列，，，有对．

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13．，，，，下列不等式恒成立的是

A． B． C． D．

14．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则

A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立

C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立

16．现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论

（1）存在，；，与有无穷个交点

（2）存在，；，与有无穷个交点

A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立

C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）

17．（14分）已知，．

（1）设，求解：，，的值域；

（2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围．

18．（14分）如图，、、为圆锥三条母线，．

（1）证明：；

（2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小．

19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

20．（18分）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．

（1）若点的横坐标为2，求的长；

（2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围．

（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（18分）记（a）（a），，（a）（a），．

（1）若，求（1）和（1）；

（2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．

（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”．

2024年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．的定义域．

【解析】：的定义域为．

故答案为：．

2．直线的倾斜角大小为．

【解析】：由直线变形得：，

设直线的倾斜角为，即，

因为，，

所以．

故答案为：．

3．已知，则．

【解析】：由题意可得，

所以．

故答案为：．

4．展开式中的系数为15．

【解析】：根据二项式展开．

故答案为：15．

5．三角形中，，则．

【解析】：三角形中，，

，

由正弦定理，，，

故．

故答案为：．

6．已知，的最小值为12．

【解析】：由，，当且仅当，即或时取最小值12，

所以的最小值为12．

故答案为：12．

7．数列，，，的取值范围为．

【解析】：等差数列由，知数列为等差数列，

即，

解得．

故的取值范围为．

故答案为：．

8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为3．

【解析】：由双曲线的定义，，，

解得，，

．

故答案为：3．

9．已知，求的的取值范围，．

【解析】：根据题意知，

所以当时，，解得，；

同理当时，，解得；

综上所述：，．

故答案为：，．

10．已知四棱柱底面为平行四边形，，且，求异面直线与的