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第81讲圆锥曲线拓展题型一

必考题型全归纳

题型一：定比点差法

例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求

例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．

例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．

变式1．设，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，若，求点的坐标

变式2．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．

题型二：齐次化

例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．

例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q（均异于点，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．

例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．

变式3．已知椭圆，，，为上的两个不同的动点，，求证：直线过定点．

题型三：极点极线问题

例7．（2024·全国·高三专题练习）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．

(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；

(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；

(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．

例8．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质?定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；

②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；

③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；

(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.

例9．（2024秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．

变式4．（2024·全国·高三专题练习）若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．

题型四：蝴蝶问题

例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．

(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；

(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.

例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆弦的中点M，任意作两弦和，与交弦于P、Q，求证：.

变式6．（2024·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.

（1）求证：.

（2）设