天津市实验中学2024-2025学年高三上学期第一次质量调查 数学试卷.docx

2025届高三年级第一次质量调查数学学科试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，，则（）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（）

A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③②

4．函数的部分图象大致为（）

A． B．

C． D．

5．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（）

A． B． C． D．

6．函数的一个对称中心的是（）

A． B． C． D．

7．将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图像上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（）

A． B． C． D．

8．函数（，），其图象的一个最低点是，距离P点最近的对称中心为，则（）

A．

B．是函数图象的一条对称轴

C．时，函数单调递增

D．的图象向右平移（）个单位后得到的图象，若是奇函数，则中的最小值是

9．定义在R上的函数满足，且当时，

．若关于x的方程（b，）有且只有6个不同的实数根，则实数b的取值范围是（）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10．已知a，，i是虚数单位，若，则的值为________．

11．的展开式中，的系数是________．（用数字作答）

12．已知点，，，，与AB方向相同的单位向量为，若向量在方向上的投影向量为，则实数________.

13．已知，且，则的最小值为________．

14．函数（，，）在一个周期内的图像如图所示，则其解析式为________．

15．已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在t使得成立，则k的取值范围是________．

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题14分）

已知函数．

（1）求的最小正周期及其图像的对称轴方程；

（2）求在上的最大值和最小值．

17．（本小题15分）

己知向量，，，且，．

（1）求与；

（2）若，，求向量，的夹角的大小．

18．（本小题15分）

己知函数，．

（1）当时，求在上的值域；

（2）若的极大值为4，求实数m的值．

19．（本小题15分）

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）设，．

（ⅰ）求a的值；

（ⅱ）求的值．

20．（本小题16分）

设函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：；

（3）设，对于任意，总存在，使成立，求实数k的取值范围．

2025届实验中学高三年级开学质量检测数学答案

一、单选题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C

B

D

B

C

D

C

C

A

二、填空题

10

11

12

13

14

15

2

10

三、解答题

16、

解：（1）

，

则的最小正周期为：；

令，，可得对称轴方程：，；

（2），注意到在上单调递减，在上单调递增，则，

17．解：（1）由，得，解得．

由，得，解得．

所以，．

（2）因为，，所以，

，．

设、的夹角为，

所以，

又因为，

所以向量，的夹角为．

18、

解：（1）当时，，函数定义域为，

可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又，，，，

所以在上的值域为；

（2）易知，

令，解得：或，

当时，，单调递增，无极大值，不符合题意；

当时，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极大值，极大值，不符合题意；

当时，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极大值，极大值，

解得．

综上，满足条件的实数m的值为3．

19、

解析（1）由正弦定理及，

可得，

，，，

即，，

，，，故．

（2）（ⅰ）由余弦定理的推论，结合，，，

得，

，，．故a的值为6．

（ⅱ）由余弦定理的推论得，

，

，，

．

20、

解：（I），

当时，，

当时，或；当时，，

函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

（Ⅱ）证明：函数有两个极值点，，，

，是方程的两个不相等的实数根，

，，即，，

．

令，

则，

在上单调递减．

，即；

（Ⅲ），

，

，，

又，，

，在上单调递增，

，

对于任意，总存在，使成立，

等价于在上恒成立，

令，

则在上恒成立．

，．

当时，，在上单调递减，，不合题意；

当时，令，得．

（ⅰ）当，即时，在上单调