第14讲、导数的概念与运算（学生版）.docxVIP

[在此处键入]

第14讲导数的概念与运算

知识梳理

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．

知识点诠释：

①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有

多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即．

2、几何意义

函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

3、物理意义

函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3、复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

【解题方法总结】

1、在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2、过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

必考题型全归纳

题型一：导数的定义

【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（????）

A． B．

C． D．

【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（????）

A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s

【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数的导函数是，若，则（）

A． B．1 C．2 D．4

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数在处可导，且，则（????）

A．1 B． C．2 D．

【对点训练4】（2024·高三课时练习）若在处可导，则可以等于（????）．

A． B．

C． D．

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．

题型二：求函数的导数

【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．

(1)；

(2)；

(3)

(4)；

【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．

【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.

【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，且，则______．

【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则__________.

【解题方法总结】

对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．

题型三：导数的几何意义

方向1、在点P处切线

【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________．

【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为______．

【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为______

【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．

方向2、过点P的切线

【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______．

【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.

【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程：__________.

【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．

【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.

【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模