第1讲 方程和方程组综合（教师版）.docxVIP

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PAGE7/8年级自招A班教师版第1讲

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第一讲

方程和方程组综合

解方程（组）

解方程（组）的基本方法：消元和降次

消元常用方法：代入消元、加减消元、换元消元、构造消元等；

降次常用方法：换元法、因式分解法等；

若遇到不定方程求解，可先用判别式确定未知数范围.

★★☆☆☆

解方程：．

换元法：设，由已知，得

由立方和公式，得到，即，．

★★★☆☆

⑴解方程：

法一：两边直接立方，结合整体代入思想，解得

经检验，是增根，是原方程的解.

法二：换元法：设，.原方程变型为，化简得.故或.

,解得；，，此时和同时为，无解.

经检验，是原方程的解.

法三：利用欧拉公式.由

得,化简得，解得或.

经检验，是增根，是原方程的解.

⑵解方程

设,得.原方程可化为.两边同时立方,.

化简得.解得或或.得或或.

经检验，都是原方程的解.

★★★☆☆

解方程组：．

令；原方程可化为，消去常数：

回代，解得

★★★★☆

解关于的方程：．

由已知得

．

原方程等价于

两边除以，得

有理化，得

由的取值范围知

①+②得

经检验（可代入①并结合），是原方程的根

综上所述：当时，；当或时，方程无解．

★★★☆☆

解方程组：．

显然

由①得：④；由②得：⑤

将④⑤代入③得：

整理得，，解得或

所以，方程组的解为：或．

★★☆☆☆

解方程组：．

先变形得出

设，得，

解出，再回代求得或．

★★☆☆☆

⑴解方程组：．

由①得，解得，

把代入②得，，解得

所以方程组的解为

⑵解方程组.

方程个数不够，考虑判别式，不妨把方程按照来整理：

由⑴得

；

由

.

故，或.代入原式，解得方程组的解为或.

已知解的情况反求参数

★★★☆☆

⑴已知方程有负根，求的取值范围.

⑵已知方程的根都为负数，求的取值范围．

⑴

⑵

★★☆☆☆

若关于的方程组无解，求的值．

由原方程组得到，因为原方程组无解，则或．解得

★★☆☆☆

已知方程组（为未知数）有两组不同的实数解或．

⑴求实数的取值范围；

⑵如果，求实数的值．

⑴整理成关于的方程，由题意，，解得，且

⑵

解得，再由，且，∴

★★★★☆

若关于的方程组有正整数解，求的值．

整理得：，

由判别式可知，的可能值为：

依次验证得出：只有满足题意．

解无理方程：⑴

⑵

⑴两边平方得

即

再两边平方整理得,所以

经检验得是增根；原方程的根为．

⑵方程两边立方，结合整体代入思想，

解得；经检验，都是原方程的解

解无理方程：

换元法：令，，则原方程可化为

，化简得，，

（考虑二次根式非负性）时，；时，.

设常数是实数，、是关于的方程组的两个实数解．

⑴若，求的值；

⑵若，求的值．

⑴当时，代入整理得，，则

⑵原方程组整理得，

，

解得，．

解方程组：．

由①得，解得，

把代入②得，，解得

所以方程组的解为

若关于的方程组有正整数解，求的值．

整理得：，

由判别式可知，的可能值为：

依次验证得出：只有满足题意．

解方程：．

分式的恒等变形经常需要的是“合而为一”（即通分）；

而在某种非常规的情况下，我们却要反其道而行之，即“一分为二”．

首先我们要把原方程右边的分式一分为二变成；

这种“一分为二”的方法，在数学上称为“裂项法”；

；

；

；；

或；

当时，；

；；

当时，；

判别式，无实数解；

当时，；

或；经检验，，是原方程的解．

已知实数满足方程组，则的值是多少？

法一：设，，则.则

又故.

这样，.

故原式

法二：注意到

另一方面，.

从而.