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第3讲等式与不等式的性质
知识梳理
1、比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
2、不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
必考题型全归纳
题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
例1．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以或，
当时，，A不成立，，，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
当时，，，
不妨设，则，故此时C不成立，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
综上：BD一定成立.
故选：BD
例2．（多选题）（2024·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（????）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
例3．（多选题）（2024·全国·校联考模拟预测）若，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】∵，则，，∴，即，A正确；
例如，，，，，显然，B错误；
由得，，∴，即，C正确；
易知，，，
，
∴，D正确；
故选：ACD．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；．
例4．（2024·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
【答案】
【解析】，不妨令，
则有，
有，
即.
故答案为：.
例5．（2024·全国·高三专题练习）如果ab，给出下列不等式：
①；②a3b3；③；④2ac22bc2；⑤1；⑥a2＋b2＋1ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
例6．（2024·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
例7．（2024·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【解析】（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满
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