第2讲 代数式恒等变形(一)(教师版).docxVIP

第2讲 代数式恒等变形(一)(教师版).docx

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PAGE7/8年级自招A班教师版第2讲

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第二讲

代数式恒等变形(一)

代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系.在初中阶段,一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明.

恒等式的证明常用的方法有:(1)由繁到简,从一边推向另一边;(2)从左右两边人手,相向推进;(3)作差或作商证明,即证明:,

条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换,证明的关键是寻找条件与结论的联系,既要注意已知条件的变换,使之有利于应用;又要考虑求证的需求情况,使之有利于与已知条件的沟通.

代数证明不同于几何证明,几何证明有直观的图形为依托,而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用.

一、恒等式的证明

★★☆☆☆

⑴求证:.

因为、、在分式中多次出现,可换元.令,则

⑵求证:.

等式左边很复杂,而右边较简单,所以应从左边证到右边.

左边

右边.故原式成立.

二、条件等式的证明

★★☆☆☆

设实数满足,求证:.

两式相加,

★★★☆☆

⑴已知,求证:.

⑵已知:实数,,满足关系式,求证:.

⑴因为

所以

,得证.

故,得证.

★★★☆☆

设是互异的实数,且.

求证:.

条件中三个等式是对称的,可先由其中一等式化简,得到有关结论,再轮换得到其他结论.

由得.约去,得.同理,.两式相减得.所以,且.

所以.

★★★★☆

设,求证:.

因为,所以,,于是,

,同理,

.三式相乘得,,

当时,则中至少有一个为,不妨设,则有,故

当时,,

所以,解得.

★★★★☆

已知正实数满足,求证:.

记,则

上述三式相乘得

(不合题意,舍去)

将代入方程组①解得,因此.

★★★★☆

已知:.

求证:.

,易得,

对比已知,得

(或由分类讨论).

★★☆☆☆

已知实数满足,,求证:.

由题意知,所以

整理得,所以.

★★☆☆☆

已知实数满足,求证:.

由⑴⑵联立得

本题可以顺势求出此方程组的解.

★★★★☆

已知都是非零实数,满足,求证:.

而,所以.由于都是非零实数,,展开,,.

求证:.

等式左边、右边都较复杂,因而应分别从两边入手,使它们与同一简单的式子相等.

左边

右边

,故原式成立.

求证:.

待证的等式应整理为:

由轮换对称式因式分解方法,,(在上式中,取,得,所以)

故,

所以,

将、、分别看成字母、、,有

所以,

即.

设,求证:、、中至少有一个等于.

设,则条件变为:,去分母整理得,,所以、、中至少一个为零,即、、中至少一个为零,故、、中至少有一个等于.

已知:,求证:.

法一:移项,平方,然后再移项,再平方

法二:设考虑方程组:

由①×②,得

,即

由①+②,得

故和是方程的两个根,解此方程,得

,所以.

若正数满足,求证:.

注意到

同理,

由于为正数,因此,,则,故中必有两个数的和等于第三个数,

不妨设,则,

,,故.

设,求证:

原式

已知:为互不相等的非零实数,且,

求证:⑴.⑵.

⑴由已知得:①②③

得.

⑵由,得到,由得,代入得,整理得到:

,即

由得到,此时与题意不符,则.故.

已知,且,求证:.

由题意得

设,则式①可化为

设,求证:.

令,则条件变为,即.

所以

即或.两种情况都得到.使用换

元法,使得计算过程大为简化.

已知,求证:.

又因为,故,,

且,

由①、②得

由③、④得

所以

即.

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