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PAGE7/8年级自招A班教师版第2讲
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第二讲
代数式恒等变形(一)
代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系.在初中阶段,一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明.
恒等式的证明常用的方法有:(1)由繁到简,从一边推向另一边;(2)从左右两边人手,相向推进;(3)作差或作商证明,即证明:,
条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换,证明的关键是寻找条件与结论的联系,既要注意已知条件的变换,使之有利于应用;又要考虑求证的需求情况,使之有利于与已知条件的沟通.
代数证明不同于几何证明,几何证明有直观的图形为依托,而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用.
一、恒等式的证明
★★☆☆☆
⑴求证:.
因为、、在分式中多次出现,可换元.令,则
⑵求证:.
等式左边很复杂,而右边较简单,所以应从左边证到右边.
左边
右边.故原式成立.
二、条件等式的证明
★★☆☆☆
设实数满足,求证:.
两式相加,
★★★☆☆
⑴已知,求证:.
⑵已知:实数,,满足关系式,求证:.
⑴因为
所以
即
,得证.
⑵
故,得证.
★★★☆☆
设是互异的实数,且.
求证:.
条件中三个等式是对称的,可先由其中一等式化简,得到有关结论,再轮换得到其他结论.
由得.约去,得.同理,.两式相减得.所以,且.
所以.
★★★★☆
设,求证:.
因为,所以,,于是,
,同理,
.三式相乘得,,
当时,则中至少有一个为,不妨设,则有,故
当时,,
所以,解得.
★★★★☆
已知正实数满足,求证:.
记,则
上述三式相乘得
(不合题意,舍去)
将代入方程组①解得,因此.
★★★★☆
已知:.
求证:.
,易得,
对比已知,得
(或由分类讨论).
★★☆☆☆
已知实数满足,,求证:.
由题意知,所以
整理得,所以.
★★☆☆☆
已知实数满足,求证:.
由⑴⑵联立得
而
∴
本题可以顺势求出此方程组的解.
★★★★☆
已知都是非零实数,满足,求证:.
,
而,所以.由于都是非零实数,,展开,,.
求证:.
等式左边、右边都较复杂,因而应分别从两边入手,使它们与同一简单的式子相等.
左边
,
右边
,故原式成立.
求证:.
待证的等式应整理为:
.
由轮换对称式因式分解方法,,(在上式中,取,得,所以)
故,
所以,
将、、分别看成字母、、,有
所以,
即.
设,求证:、、中至少有一个等于.
设,则条件变为:,去分母整理得,,所以、、中至少一个为零,即、、中至少一个为零,故、、中至少有一个等于.
已知:,求证:.
法一:移项,平方,然后再移项,再平方
法二:设考虑方程组:
由①×②,得
,即
由①+②,得
,
故和是方程的两个根,解此方程,得
,所以.
若正数满足,求证:.
注意到
同理,
,
故
由于为正数,因此,,则,故中必有两个数的和等于第三个数,
不妨设,则,
,,故.
设,求证:
.
原式
已知:为互不相等的非零实数,且,
求证:⑴.⑵.
⑴由已知得:①②③
得.
⑵由,得到,由得,代入得,整理得到:
,即
由得到,此时与题意不符,则.故.
已知,且,求证:.
由题意得
设,则式①可化为
设,求证:.
令,则条件变为,即.
所以
,
即或.两种情况都得到.使用换
元法,使得计算过程大为简化.
已知,求证:.
又因为,故,,
且,
由①、②得
由③、④得
所以
即.
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