第2讲 代数式恒等变形（一）（教师版）.docxVIP

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PAGE7/8年级自招A班教师版第2讲

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第二讲

代数式恒等变形（一）

代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明．

恒等式的证明常用的方法有：(1)由繁到简，从一边推向另一边；(2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：，

条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．

代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．

一、恒等式的证明

★★☆☆☆

⑴求证：．

因为、、在分式中多次出现，可换元．令，则

⑵求证：．

等式左边很复杂，而右边较简单，所以应从左边证到右边．

左边

右边．故原式成立．

二、条件等式的证明

★★☆☆☆

设实数满足，求证：．

两式相加，

★★★☆☆

⑴已知，求证：．

⑵已知：实数,,满足关系式，求证：.

⑴因为

所以

即

，得证．

⑵

故，得证.

★★★☆☆

设是互异的实数，且．

求证：．

条件中三个等式是对称的，可先由其中一等式化简，得到有关结论，再轮换得到其他结论．

由得．约去，得．同理，．两式相减得．所以，且．

所以．

★★★★☆

设，求证：．

因为，所以，，于是，

，同理，

．三式相乘得，，

当时，则中至少有一个为，不妨设，则有，故

当时，，

所以，解得．

★★★★☆

已知正实数满足，求证：．

记，则

上述三式相乘得

（不合题意，舍去）

将代入方程组①解得，因此．

★★★★☆

已知：．

求证：．

，易得，

对比已知，得

（或由分类讨论）．

★★☆☆☆

已知实数满足，，求证：．

由题意知，所以

整理得，所以．

★★☆☆☆

已知实数满足，求证：．

由⑴⑵联立得

而

∴

本题可以顺势求出此方程组的解.

★★★★☆

已知都是非零实数，满足，求证：．

，

而，所以．由于都是非零实数，，展开，，．

求证：．

等式左边、右边都较复杂，因而应分别从两边入手，使它们与同一简单的式子相等．

左边

，

右边

，故原式成立．

求证：．

待证的等式应整理为：

．

由轮换对称式因式分解方法，，（在上式中，取，得，所以）

故，

所以，

将、、分别看成字母、、，有

所以，

即．

设，求证：、、中至少有一个等于．

设，则条件变为：，去分母整理得，，所以、、中至少一个为零，即、、中至少一个为零，故、、中至少有一个等于．

已知：，求证：.

法一：移项，平方，然后再移项，再平方

法二：设考虑方程组：

由①×②，得

，即

由①+②，得

，

故和是方程的两个根，解此方程，得

，所以．

若正数满足，求证：．

注意到

同理，

，

故

由于为正数，因此，，则，故中必有两个数的和等于第三个数，

不妨设，则，

，，故．

设，求证：

．

原式

已知：为互不相等的非零实数，且，

求证：⑴．⑵．

⑴由已知得：①②③

得．

⑵由，得到，由得，代入得，整理得到：

，即

由得到，此时与题意不符，则．故.

已知，且，求证：．

由题意得

设，则式①可化为

设，求证：．

令，则条件变为，即．

所以

，

即或．两种情况都得到．使用换

元法，使得计算过程大为简化．

已知，求证：．

又因为，故，，

且，

由①、②得

由③、④得

所以

即.