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PAGE3/8年级自招A班第4讲

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第四讲

经典几何题

一、全等三角形

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴平移全等型

⑵对称全等型

⑶旋转全等型

二、由全等可得到的相关定理：

⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵在角的内部，到角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶等腰三角形的性质定理：等边对等角．

⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸等腰三角形的判定定理：等角对等边．

⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

⑻直角三角形斜边中线等于斜边一半．

常见的辅助线做法（倍长中线，翻折，截长补短，构造三垂直，平移，翻折，旋转）；

利用三角形全等来证明结论（线段的数量关系或位置关系或求角度）；

掌握构造等边三角形求角度的特殊辅助线做法．

★★☆☆☆

考查下列命题：

①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；

②两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；

③两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等；

④一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑤两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；

⑥三角形个边、角元素中，有个元素分别相等的两个三角形全等．

上述说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例．

★★☆☆☆

在中，是内心，且.证明：．

★★★☆☆

如图，在中，分别平分，已知，求的度数．

★★★☆☆

在中，是的平分线，在外取一点，使得，，设交于点，求证：．

★★★☆☆

已知：如图，中，，为上一点，为上一点，与交于，且．求的大小．

★★★☆☆

已知：如图，正方形和正方形,点是线段的中点.

⑴试说明线段与的关系;

⑵如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

★★★★☆

⑴如图，四边形是一个正方形，在、上有两点，使得,求证：.

⑵如图，是一个正方形，点分别在线段上，满足．点在线段上，满足，求证：．

★★★★☆

如图，，，，，求整个图形的面积．

★★★★☆

如图，三点共线，正方形的边长为，正方形的边长为，在上取点，使得，则_______.

如图所示，在线段上，在的同侧作等边和，联结．若，则_____，_____．

在等腰直角三角形中，，是内一点，使得，则边长为____________．

已知：如图，中，，为上一点，为上一点，与交于，且．求证：．

如图所示，四边形中，对角线平分，且，则_________．

如图，等腰中，，，于，交于点；过点作于，交的延长线于．求证：．

在中，，点分别在边上，使得，则．

已知：如图，梯形中，，为等腰直角三角形，过作于，交于，联结．求证：．

（拿破仑定理）以任意三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形．