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PAGE12/8年级自招A班教师版第5讲

第五讲

正反比例函数

一、函数

1.概念：在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量的允许范围内，变量随着的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数()，叫做自变量（）.

注：函数的定义还有一种表述方法，即在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，叫做自变量.

2.函数三要素

①定义域：自变量的取值范围；

②值域：函数值的取值范围；

③对应法则：随变化而变化的规律，通常可记为“”.

（有时候为了简便，或者不知道确切的函数关系式的时候，可以把函数记为，把时对应

的函数值记为）

3.函数的图象

对于一个函数，如果把其中的自变量视为平面直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值视为此点的纵坐标，所有这样的点的集合就形成了函数的图象.

二．正比例函数

1.概念：解析式形如（常数）的函数，称是的正比例函数，其中常数叫做比例系数．定义域：一切实数．

2.图像：一般地，正比例函数（常数）的图像是经过原点和的一条直线．我们把正比例函数（常数）的图像叫做直线．

【思考】⑴直线(常数)会不会与轴平行？为什么？

⑵请你写出过点且与轴平行的直线解析式．

3.性质：

⑴当，直线经过一、三象限，从左向右上升，即随着的增大而增大；

⑵当，直线经过二、四象限，从左向右下降，即随着的增大而减小．

4.待定系数法求正比例函数解析式：

⑴设：设解析式为（常数），其中系数待定；

⑵列：把题目当中已知条件代入所设解析式中，列出关于待定系数的方程；

⑶解：解这个方程，得到待定系数的值；

⑷代：将解出的待定系数的值代入，从而得到完整的函数解析式．

三．反比例函数

1.概念：解析式形如（常数）的函数，称是的反比例函数，其中常数

叫做比例系数．定义域：不为零的一切实数．

2.图像：反比例函数（常数）的图像叫做双曲线，它有两支．

3.性质：

⑴当时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每个象限内，随的

增大而减小；

⑵当时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每个象限内，随的

增大而增大；

⑶图像的两支无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交；

⑷双曲线上的点是关于原点成中心对称的，双曲线也是轴对称图形．

4.待定系数法求反比例函数解析式：

⑴设：设解析式为(常数)，其中系数待定；

⑵列：把题目当中已知条件代入所设解析式中，列出关于待定系数的方程；

⑶解：解这个方程，得到待定系数的值；

⑷代：将解出的待定系数的值代入，从而得到完整的函数解析式．

★☆☆☆☆

下列关于函数的说法，正确的有（）个.

①定义域和值域都相同的两个函数是相等函数；

②函数和表示的同一函数;

③已知正比例函数图像上一个点的坐标，一定可以求出函数解析式；

④已知反比例函数图像上一个点的坐标，一定可以求出函数解析式.

A.B.C.D.

★☆☆☆☆

⑴下列函数中，哪些是正比例函数？

①；②；③；

④；⑤

⑵①圆的周长与圆的半径这两个变量是否成正比例？

②圆的面积与圆的半径这两个变量是否成正比例？

⑴①②④是正比例函数；

⑵①，成正比例．

②，不成正比例．

★☆☆☆☆

⑴已知，若是的正比例函数，求的值．

⑵已知是正比例函数，求的值．

⑶已知函数（为常数）是正比例函数，求的值．

⑷已知是正比例函数，求的值．

⑴正比例函数的比例系数且，．

⑵由已知得，解得．

⑶，故．又因为，，则．

⑷由已知得，解得．

★★☆☆☆

⑴已知函数的图像经过，且时，，下列说法错误的是（）

A．图像经过第一、三象限B．图像经过第二、四象限

C．随着的增大，也增大D．

⑵已知正比例函数，那么它的图像经过哪个象限？

⑶正比例函数的图像经过第一、三象限，求的值．

⑴；

⑵由题意得，解得，则函数为，经过一、三象限．

⑶此函数为正比例函数，，解得，

此函数经过第一，三象限，,

★★☆☆☆

⑴在同一直角坐标系内画出下列函数的图像，与．

⑵在同一直角坐标系内画出下列函数的图像，与．

⑶如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是．

⑴⑵图略.

(注：此处可以根据图象探究一下斜率如何影响图象的走势，同时可以看出如果斜率互为相反数的两个正比例函数的图象是关于直线对称的.)

⑶法一：．我们探究