第1讲 圆的综合（学生版）.docxVIP

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PAGE9/9年级第1讲

第一讲

圆的综合

圆的基本性质定理

一、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦或两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量分别相等．

即：在同圆或等圆中，圆心角相等劣弧（或优弧）相等弦相等弦心距相等

注意：①前提条件是在同圆或等圆中；

②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(中考不能直接用，需要证明)

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

由圆周角定理，还可得到圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任一外角都等于它的内对角.

★★★☆☆

如图，的半径为，是上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与分别交于两点，则的值等于________．

★★★☆☆

⑴如图，弦弦于，若，，，则的半径长为________．

⑵如图，、为的两条弦，已知于点，于点，已知，，，则________．

★★☆☆☆

⑴如图，、是的两条互相垂直的弦，圆心角，，的延长线相交于，=________．

⑵是的外接圆，于，且，则________．

⑶已知是的直径，为上一点，，的平分线交于点，若，则________．

★★★☆☆

如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交、于、，连接，则线段长度的最小值为________．

直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系

一、切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

二、切线的判定

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

证明方法：“联半径，证垂直”、“作垂线，证半径”．

“联半径，证垂直”：若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直．

“作垂线，证半径”：若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径．

三、切线长和切线长定理：

⑴切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，

叫做这点到圆的切线长(、)．

⑵切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角()．

四、圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距；

五、连心线：1.定义：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线．

2.性质：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴．两圆的连心线是这两个圆所成图形的对称轴．

如果两个圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是有：

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

定理：相切两圆的连心线经过切点．（反证法可证明）

注：1.相切包括内切与外切两种情况．（注意分类讨论）

2.两圆为同心圆是两圆内含的一种特殊情况．

3.等圆不可能内切和内含．

?重点——相切

构成基本图形

添辅助线

外

切

内

切

?两圆关系考察的是相切（外切+内切），用到的工具有：

⑴定义+勾股定理

外切（），内切（），然后通过寻找或构造直角三角形，运用勾股定理．

⑵锐角三角比（相等的角的锐角三角比是相同的）

寻找相等的角，或通过添加高或平行线构造相等的角，运用锐角三角比

★★☆☆☆

⑴半径为的与正方形相切于点、，弦，且在正方形的对角线上，则正方形的边长为________．

⑵如图，已知在矩形中，，，和分别是和的内切圆，与对角线相切，则________．

⑶如图，在中，，，，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形的各边分别与半