第1讲 圆的综合(学生版).docxVIP

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PAGE9/9年级第1讲

第一讲

圆的综合

圆的基本性质定理

一、垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

推论1:⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;

⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

注意:若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦(非直径)”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立,则另外三个都成立.

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等.

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦或两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等,那么它们所对应的其余三组量分别相等.

即:在同圆或等圆中,圆心角相等劣弧(或优弧)相等弦相等弦心距相等

注意:①前提条件是在同圆或等圆中;

②在由等弦推出等弧时应注意:优弧与优弧相等;劣弧与劣弧相等.

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(中考不能直接用,需要证明)

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

由圆周角定理,还可得到圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补,并且任一外角都等于它的内对角.

★★★☆☆

如图,的半径为,是上一点.以为对角线作矩形,且.延长,与分别交于两点,则的值等于________.

★★★☆☆

⑴如图,弦弦于,若,,,则的半径长为________.

⑵如图,、为的两条弦,已知于点,于点,已知,,,则________.

★★☆☆☆

⑴如图,、是的两条互相垂直的弦,圆心角,,的延长线相交于,=________.

⑵是的外接圆,于,且,则________.

⑶已知是的直径,为上一点,,的平分线交于点,若,则________.

★★★☆☆

如图,中,,,,是线段上的一个动点,以为直径画分别交、于、,连接,则线段长度的最小值为________.

直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系

一、切线的性质:

定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

二、切线的判定

定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;

距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;

定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

证明方法:“联半径,证垂直”、“作垂线,证半径”.

“联半径,证垂直”:若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先连结过此点的半径,再证其与直线垂直.

“作垂线,证半径”:若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作该直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径.

三、切线长和切线长定理:

⑴切线长:

在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,

叫做这点到圆的切线长(、).

⑵切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角().

四、圆心距:两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距;

五、连心线:1.定义:经过两个圆的圆心的直线叫做连心线.

2.性质:圆是轴对称图形,经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴.两圆的连心线是这两个圆所成图形的对称轴.

如果两个圆相交,那么它们的两个交点关于连心线对称,于是有:

定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

定理:相切两圆的连心线经过切点.(反证法可证明)

注:1.相切包括内切与外切两种情况.(注意分类讨论)

2.两圆为同心圆是两圆内含的一种特殊情况.

3.等圆不可能内切和内含.

?重点——相切

构成基本图形

添辅助线

?两圆关系考察的是相切(外切+内切),用到的工具有:

⑴定义+勾股定理

外切(),内切(),然后通过寻找或构造直角三角形,运用勾股定理.

⑵锐角三角比(相等的角的锐角三角比是相同的)

寻找相等的角,或通过添加高或平行线构造相等的角,运用锐角三角比

★★☆☆☆

⑴半径为的与正方形相切于点、,弦,且在正方形的对角线上,则正方形的边长为________.

⑵如图,已知在矩形中,,,和分别是和的内切圆,与对角线相切,则________.

⑶如图,在中,,,,以其三边为直径向三角形外作三个半圆,矩形的各边分别与半

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