第4讲 四点共圆（二）（教师版）.docxVIP

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PAGE8/9年级第4讲

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第四讲

四点共圆（二）

①理解四点共圆概念；

②能够利用四点共圆性质解题，熟练掌握四点共圆的证明方法．

四点共圆的应用

四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的．

★★☆☆☆

锐角中，为高，在边上取点，使得．求证：是圆内接四边形．

导角，

★★☆☆☆

已知：如图，是对角线互相垂直的圆内接四边形，通过对角线的交点与垂直于点的直线交于点．求证：．

．同理．本例的逆命题也成立．这两个命题在某些问题中有时有用．本例叫做婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．

★★★☆☆

为圆的直径，在圆上并且，为圆上一点，位于、之间，直线与相交于点，过作直线与垂直，交直线于点，求证：．

联结，四点共圆，

（或证）

★★★☆☆

的内切圆，切、于、两点，延长和交于，求证：．

联结，四点共圆

★★★★☆

如图，的内切圆分别切、于点、，是的中点，、的平分线分别与直线交于点、，证明：．

联结，，四点共圆，，，同理，

★★★★☆

切圆于和，交于，过任作一弦.

求证：.

四点共圆（或射影）得

四点共圆.连则

★★★☆☆

【自招】

如图，锐角的三条高、、交于点，联结交于点，过点作且交于点，联结交于点．求证：

联结

∴、、、四点共圆，、、、四点共圆

∴，∴、、、四点共圆

∴

∴，∴

★★★☆☆

已知是平行四边形，于，中垂线交于点，交于点，中点为．求证：．

联结，易证四点共圆，四点共圆

（），故五点共圆，

★★★☆☆

【自招】

已知是等腰底边上的高，及是的三等分线，分别交于，交于，求证：．

可用角分线定理；或联结，利用四点共圆导角，

★★★☆☆

如图，是的直径，弦交于点，点是上一点，和交于点，，垂足为，求证：．

联结，则，又∵，∴，∴，

∴四点共圆

∴，∴．

★★★☆☆

【自招】

如图，已知中，是高，是角平分线，且．求证：⑴；⑵．

⑴五点共圆，是直径，

法一：∴，

∵是的角平分线，∴，

∴，∴．

法二：∵是的角平分线，∴，∴．

⑵法一：易证，∴，

∵是的平分线，∴，

法二：∵五点共圆，

由割线定理得

则，

∵是的平分线，∴，∴．

设内接于圆，弦分别交、边于点、，且，求证：、、、四点共圆．

联结，

在梯形中，，，，分别是腰、上的点，，求证：．

联结，易证四点共圆，故，进而四点共圆，得，

已知在凸五边形中，，，求证：．

联结，

，

四点共圆，四点共圆，五点共圆，

∴．

如图，直线交于，于,为过的弦，切于，交于，切于，交于．求证：．

联结，，四点共圆，

，又由垂径定理，，故．

设是等腰底边的中点，过、两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连结交此圆于点，求证：．

联结，，四点共圆，

故

婆罗摩笈多(Brahmagupta)，印度天文学家、数学家，属乌贾因学派．约公元598年生，约660年卒．628年著《婆罗门历算书》，全书24章，其中第12章、第18章专论数学．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他提出了负数概念，用小点或小圈记在数字上面以表示负数，并给出负数的运算法则，如“两个正数之和为正数，两个负数之和为负数，一个正数和一个负数之和等于它们的差”；“一个正数与一个负数的乘积为负数，两个负数的乘积为正数，两个正数的乘积为正数”等等．他的负数概念及其加减法法则，仅晚于中国（约公元1世纪成书的中国《九章算术》最早提出负数及其加减法运算的概念）而早于世界其他各国数学界；而他的负数乘除法法则，在全世界都是领先的．

婆罗摩笈多在公元7世纪初的一部论及天文的著作中，给出了用四边长表达圆内接四边形面积的婆罗摩笈多公式：，其中为半周长：

如图所示，在梯形中，，，，，且,求的长．

如图，作点关于的对称点，连接、、．

设与交于点．由，知点、到的距离相等．则

设，．

由，得．故、、、四点共圆．由，得．故．

又．

故．

由角平分线的性质得．

又，所以，，．

于是，由，解得．故.