7自招 第10讲 全等三角形辅助线（旋转）（教师版）.docxVIP

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PAGE8/自招体系7年级教师版第10讲

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第

第十讲

全等三角形辅助线（旋转）

全等三角形

辅助线（旋转）

【重点】：①熟练掌握平移、翻折、旋转的基本性质，能快速作出图形运动的结果图；

②善于利用与角平分线有关的翻折模型添加辅助线；

③通过旋转构造特殊三角形，转化有用条件；

【难点】：通过条件（中垂线、角平分线、中点等），善于添加辅助线，构造三角形，将复杂问题简单化

★

如图，已知绕某一点逆时针转动一个角度，得到旋转后的，其中、、的对应点分别是、、．试确定旋转中心．

因为旋转前后两个图形上的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，所以旋转中心到、的距离相等，即，同样，，而到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点在线段的垂直平分线上，同时又在线段、的垂直平分线上，所以只要作出线段、的垂直平分线，确定其交点即得到旋转中心．

★

如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则_________．

，，所以．

所以旋转角等于．

旋转

旋转：

把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．

旋转的三要素：

①旋转中心（在旋转过程中始终保持固定不变的点）；

②旋转方向（顺时针或逆时针）；

③旋转角度（一般小于）；

旋转的性质：

①旋转后的图形与原图形是全等的；→→进而得到相等的线段、相等的角；

②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；→→进而得到等腰三角形；

③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；→→若为特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形；

④对应线段所成角度即为旋转角（或旋转角补角）；

旋转全等：

①有等腰就可旋转，旋转角等于顶角．

②顶角为，即是等边三角形，旋转可构造新等边三角形．

③顶角是，即是等腰直角三角形，旋转可构造新等腰直角三角形．

旋转全等模型：等线段共端点靠旋转

半角模型:

图1图2

①如图1，等边中，，将逆时针旋转至，

则

②如图2，等边中，，，将逆时针旋转至，

则

注：此讲若有空闲时间，可补充费马点相关知识要点．

★

已知，在中，为锐角，是射线上一动点(与不重合)，以为一边向右侧作等边(与不重合)，联结．

⑴若为等边三角形，当点在线段上时（如图1所示），则直线与直线所夹锐角为________；

⑵若为等边三角形，当点在线段的延长线上时（如图2所示），你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；

图1 图2

⑴；，

⑵成立．

∵是等边三角形，∴，

∵是等边三角形，∴，

∴，∴，

∴，∵，∴，

即直线与直线所夹锐角为．

★★

（外省市中考题）如图，四边形中，，，若四边形的面积为，则长为________．

由可得．

★★★

如图，已知是等边内的一点，，，，

⑴求的度数．

⑵求的面积；

⑴将绕点顺时针旋转，得，联结．

故．易证为等边三角形，故，；又，，，

故根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，；

因此．

⑵

★★★

为等边内一点，，，求证：以、、为边可以

构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数．

将绕点逆时针旋转，得，联结．

故．因此，，，

易证为等边三角形，故，

因此即为以、、长度的三边所构成的三角形．

易求得，，

故．

★★

已知：如图，正方形中，为正方形内部一点，且满足．求证：点必在对角线上．

将绕点逆时针旋转，得，联结．

易证得为等腰直角三角形，故有，又由，

所以，故为直角三角形，

故四边形中，，又，

故，即在对角线上，得证．

★★★

如图所示，为正方形内一点，若，，．

求：⑴的度数；

⑵正方形的面积．

⑴将绕点顺时针旋转，得到．联结，因为，

，所以，．

在中，，，，则，

所以，故．

⑵因，则、、三点共线，故，

，在中，根据勾股定理得

所以．

★★

如图，已知为等边三角形，为三角形外一点，，，为上一点，为上一点，且．求证：．

延长至，使得，联结．

易证，故，，

故易证，故，故，

又，故，得证．

★★★

如图所示，等腰直角中，、为斜边上两点，且．

⑴求证：以、、三边为边长构成的三角形是直角三角形．

⑵若在延长线上，，请问⑴中的结论是否依然成立？

图1 图2

⑴法一：如图所示，将绕点逆时针旋转，得到．故，

联结，易证，

故，因此